Sujet de terminale S sur la récurrence et d'autres chapitres

[fanny58]

Bonjour,

J'ai un DM de mathématiques (toutes les informations seront en bas de la page) à rendre pour le lundi 5 novembre composé de deux exercices le premier étant terminé, j'ai essayé de faire le deuxième mais je n'arrive pas à faire la première question malgré de nombreux essais, la plupart de mes camarades ayant essayés sont aussi bloqués sur cette question or nous avons obligatoirement besoin de la solution double (deux question en une) pour répondre à presque toutes les autres questions.
Je viens donc ici vous demander de l'aide je pense qu'il faut utiliser la récurrence car la plupart de mes camarades pensent la même chose et c'est ce qui parait le plus logique mais comme on vient de commencer le chapitre et que je ne comprend pas tout ce que me dit le professeur de mathématiques (nous sommes plusieurs dans la classe à ne pas comprendre ses explications et comme c'est les vacances nous ne pouvons pas aller voir d'autres professeurs de mathématiques de notre lycée pour leur demander nous sommes donc tous bloqués et ne pouvons faire cet exercice).

Si quelqu'un ici peut au moins me donner les pistes de recherche pour trouver la solution sans forcément donner directement la réponse. Et même si vous ne trouvez pas comment résoudre la question mais que vous connaissez la méthode de la récurrence, quelques explications venant de quelqu'un d'autre m'aideront peut être à mieux comprendre.

Merci d'avance, bonne journée à vous !

Je souhaite d'abord montrer que puis je veut exprimer la longueur l en fonction de la suite x pour tout entier i allant de 0 à p-1 (la suite x est définie plus bas)

Or voici les informations que nous donne l'énoncé:

A est un point qui a pour coordonnées (x; 0)
A est un point qui a pour coordonnées (1 ; 0)
l est la longueur du segment [A]
Lp est la somme des longueurs l


De plus, on sait que la courbe C représente la fonction f définie sur l'intervalle [0;1] dans un repère (O, [ , ).

Par ailleurs on nous dit que l est la longueur de cette courbe C.

Enfin, (comme dit avant p est un entier naturel non nul) la suite définie par x=0 et pour tout entier naturel i ainsi que la suite x est alors une subdivision de [0;1] et que le pas de la subdivision est


Voici mes pistes de recherches:

Pour tout p entier naturel non nul et pour i tout entier naturel tel que
Notons P(p) la proposition

Initialisation: Pour p=1


Or

Donc

Et c'est la que mon problème se pose je ne sais pas comment résoudre ça donc je pense que je me suis tromper depuis le début mais je ne trouve pas mon erreur et deux de mes amies en sont au même point que moi et les autres ont voulu essayer autres choses mais ils sont encore plus loin du résultat. Je suis totalement perdue je ne sais absolument plus quoi faire donc si quelqu'un arrive à trouver les deux solutions au problème posés dans ma première question je veut bien que vous m'expliquiez comment faire que ce soit en répondant sous mon post et si vraiment je ne comprend pas par écrit je vous passerai un autre moyen de mon joindre comme par téléphone parfois on comprend mieux en parlant "directement".

En tout cas merci à toutes les personnes ayant lu jusqu'ici merci à ceux qui auront pris le temps d'y réfléchir et de m'aider même si vous ne trouvez pas forcement nul n'est parfait, c'est surtout le geste qui compte comme on dit !

Bonne journée à vous

[esteb35]

Salut

Il m'a pas l'air facile ton exercice ! Je pourrai y réfléchir d'avantage après mais pour l'instant je peux t'expliquer le raisonnement par récurrence.

En fait c'est pas très compliqué quand on a bien pigé l'objectif du raisonnement.
Dans "raisonnement par récurrence" il y a le mot raisonnement, ce qui implique que l'on cherche à démontrer une propriété mais pas n'importe comment.

Si je te dis (au hasard) : je souhaite démontrer que pour tout entier naturel n , U(n+1) = (1/3)^n, sachant que U(0) = 0.
Je peux pas le démontrer en disant que c'est vrai pour n = 0 ; ce serait totalement stupide : dans l'énoncé il est bien précisé qu'il faut démontrer la prop pour tout entier naturel n.
C'est la qu'on utilise la récurrence (de toute façon pour les raisonnements dans les exercices de suites, c'est quasi tout le tps ça ; si on te dit de démontrer une propriété pour tout entier naturel n, tu dois penser direct à la récurrence).
L'initialisation vise à vérifier que ça marche bien au rang 0 (parce que c'est le premier entier naturel...).
En gros si ta propriété marche pas au rang 0, ça sert à rien d'aller plus loin, tu as fait une erreur.
L'hérédité c'est quoi ?
Ca vise a prouver que quelque soit le rang n que l'on choisit, la propriété est vraie.
C'est la que ça se complique. Il existe cependant différentes techniques en fonction de ce que tu dois démontrer.
Et la conclusion c'est l'endroit où idéalement tu dis que la propriété a bien été initialisé et est héréditaire, donc la prop est démontrée.

Voilà voilà en espérant t'avoir éclairci un peu le fonctionnement d'une récurrence

[Ben314]

Salut,
Ca serait plus que pas con de comprendre qu'un texte (de math ou autre), ça ne se recopie pas en écrivant les phrases dans un ordre totalement aléatoire. Plus que souvent, on a besoin des phrases du début du texte pour comprendre les suivantes (et je le redit, ça me semble pas spécifique au math : si on te demandait de lire un livre où les phrases ont été complètement mélangées, ben je pense que tu aurais un peu du mal à comprendre....)
Bref, de commencer ton Laïus par du
"Je souhaite d'abord montrer que puis je veut exprimer la longueur l en fonction de la suite x pour tout entier i allant de 0 à p-1"
Alors qu'on ne sait ni qui est p, ni Lp, ni quoi que ce soit d'autre, ben le moins qu'on puisse dire, c'est que ça incite pas à lire la suite.

Ensuite, ben ça m'étonnerais plus que beaucoup que tes différents points aient, comme tu l'écrit, pour coordonnées vu que dans ce cas là, les longueurs , ça serait simplement et la somme des longueurs, ça serait

Et sinon, concernant la majoration et la récurrence, ben il faudrait peut être avoir un minimum de bon sens :
- Déjà, quand tu passe de à , ça modifie complètement le dessin, par exemple pour p=3, les points considérés sont ceux d'abscisse 0 ; 1/3 ; 2/3 ; 1 alors que pour p=4, c'est 0 ; 1/4 ; 1/2 ; 3/4 ; 1 qui, à part 0 et 1 n'ont rien à voir avec ceux du cas p=3. Donc d'avoir certaines info sur , ben ça te donnera rien sur .
- En plus, si on cherche à regarder des dessins "liés" entre eux, ben ça serait plutôt p=3 (ou on a 0 ; 1/3 ; 2/3 ; 1) et p=6 (ou on a 0 ; 1/6 ; 1/3 ; 1/2 ; 2/3 ; 5/6 ; 1) qui est obtenu en rajoutant des points au milieu. Et là, un truc clair, c'est que vu qu'on passe par les mêmes points, mais en faisant des détours intermédiaires. Ce qui bien sûr fait que de savoir que , ça va pas aider du tout à montrer que .

Et si, justement, au lieu d'y aller totalement au pif. concernant la méthode à employer pour prouver le résultat, on essaye de comprendre la question posée, ben la solution est parfaitement évidente : la longueur totale de la courbe, c'est la somme des petites longueurs sur la courbe de à plus celle de à , etc jusqu'à celle de à . Or la longueur sur la courbe de à est évidement supérieure à la longueur en ligne droite de à (c'est à dire la distance de à ) vu que le plus court chemin entre deux points c'est la ligne droite.

[fanny58]

esteb35
Salut oui il est assez difficile surtout que je ne comprend pas tout dans mon énoncé donc c'est difficile de mettre en lien les éléments quand on ne comprend pas en tout cas j'ai un peu mieux compris l'utilisation de la récurrence car je ne savais pas trop à quoi elle servait. En tout cas merci pour ta petite explication j'ai beaucoup mieux compris par ton texte que par les explications de mon prof qui pour moi ne sont pas très explicites! Donc merci beaucoup

[fanny58]

Ben314

Salut,
Pour l'énoncé j'ai copier les éléments dans l'ordre qu'ils étaient donnés et c'est d'ailleurs pour cela que moi même je n'arrive pas a mettre en lien ses éléments. J'ai juste mis ce que moi je recherche avant car dans notre lycée on nous as toujours dit de commencer par lire les questions et savoir ce que l'on cherche puis ensuite voir les éléments qui nous seront utiles. Je ne fais donc qu'appliquer ce que mes professeurs me disent, bref.

Pour les coordonnées du point Ai l'énoncé dit que les coordonnées sont () et c'est la que je me demande comme tous les points ont la même ordonnées la longueurs se trouve donc seulement avec les abscisses ?

[Ben314]

Normalement, ce qu'on doit obligatoirement te fournir avec un tel énoncé super long et avec beaucoup de lettres", c'est un dessin.
Ou alors, ça doit obligatoirement être la première question : "faire un dessin précis dans le cas n=5".

Au cas où ça soit pas clair, je te réécrit l'énoncé tel que, en lisant ton bidule, je l'ai compris :
On considère la courbe de la fonction définie pour x dans [0,1] par .
On fixe un entier naturel p 1 et, pour tout entier k entre 0 et p (compris), on considère le réel ainsi que le point de la courbe. On note où est la distance du point au point (c'est à dire la longueur du segment reliant ces deux points).

Et ce que je t'incite plus que fortement à faire, c'est de commencer par la
Question 0 : Représenter sur un dessin précis les différents objets de l'énoncé (la courbe, les points et les segments les reliant) dans le cas puis donner la valeur exacte et une valeur approximative de (on pourra utilement utiliser un logiciel comme Géogébra)

[fanny58]

Ben314

Aujourd'hui notre professeur vient de nous contacter par pronote (là où il renseigne nos notes et devoirs) et ils nous a dit qu'il avait fait une erreur dans l'énoncé et que le point n'a pas pour coordonnées mais donc comme je n'avait pas les bonnes coordonnées sur mon énoncé je ne savait pas comment résoudre et surtout je ne trouvait pas le rapport entre la fonction f(x) et le reste.
Et pour le dessin j'ai est un mais je n'arrive pas à le mettre sur ce site c'est un graphique représentant les point Ai pour p=10 (dans une question suivante on nous demande de représenter sur ce graphique les segments pour p=5 et p=10 ) aurait tu une adresse mail à laquelle je peut t'envoyer le dessin ?

J'ai essayer plusieurs met je me perd et comme les coordonnées du point on changé je suis encore plus perdue et mes amis sont eux aussi perdus

[Ben314]

Fait ton truc avec géogébra (en ligne ou sur ta machine) puis met un lien sur le fichier. (et perso, le dessin "en vrai", j'en ait pas vraiment besoin : j'arrive très bien à le voir "dans ma tête" sans avoir besoin de support papier ou écran)

https://www.geogebra.org/m/yjggzz7g
As-tu accès à ça ?

[fanny58]

Ben314

Non mais je vais voir avec une amie si elle l'a