Suites récurrentes

[aurelien0904]

bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice car j'ai beaucoup de mal au niveau des suites convergentes. Voici l'énoncé:

Soit u la suite définie par u0=1 et pour tout n;)0,
u indice n+1= 1+(1/(1+u indice n))

1.a. Calculer u1, u2, u3 sous forme de fraction irréductible.
b. Tabuler la suite à la calculatrice. Semble-t-elle avoir une limite si oui laquelle?
2.a. Montrer que si u indice n est un rationnel positif, u indice n+1 l'est aussi.
b. Expliquer pourquoi on peut en déduire que tous les termes de cette suite sont des rationnels positifs.
3.On pose v indice n= (un-;)2)/(un+;)2) pour tout n;)0.
a. Montrer que pour n;)0, v indice n+1=(1-;)2)/(1+;)2)v indice n.
b. En déduire la nature et la limite de la suite (v indice n).
c. En déduire la limite de la suite(u indice n).
4. Que peut-on dire de l'affirmation: " la limite d'une suite de rationnels est un rationnel " ?
5. Expliquer ce que peut signifier l'écriture:
;)2= 1+(1)/(1+(1)/(1+(1)/(1+...)))
Voilà ce que j'ai déjà pu trouver:

1.a. U1=3/2
U2=7/5
U3=17/12
1.b elle semble avoir une limite : 1.40
2.a.

U(n+1) = 1 + 1/(1+Un)
U(n+1) = (1+Un+1)/(1+Un)
U(n+1) = (2+Un)/(1+Un)

Si Un est rationnel positif, on peut écrire Un = a/b (avec a et b deux entiers strictement positifs premiers entre eux)

U(n+1) = (2 + (a/b))/(1 + (a/b))
U(n+1) = (2b + a)/(b + a)

2b+a est entier et > 0 et b+a est entier et > 0 --> U(n+1) est un rationnel positif.

2b. je ne sais pas

3.)a.)
Vn = (Un -;)2)/ ( Un + ;)2)

Vn+1= ( Un + 1 - ;)2) / ( Un + 1 + ;)2 )

= ( 1+1/(1+Un) -;)2) / ( 1+1/(1+Un) +;)2)

= (( 1 + Un +1 - ;)2 (1+Un)) / (1+ Un)) / (( 1 + Un +1 + ;)2 (1+Un)) / (1+ Un))

= ((2 + Un - ;)2(1+Un)) / (1+Un)) * ((1+Un) / (2 + Un - ;)2(1+Un)))

= ( Un - ;)2Un - ;)2 + 2) / ( Un + ;)2Un + ;)2 + 2 )

= ( Un ( 1 - ;)2) - ;)2 ( 1- ;)2 )) / (Un ( 1 + ;)2) + ;)2 ( 1+ ;)2 ))

= ((1-;)2) (Un -;)2) ) / ((1+;)2) (Un +;)2) )

Vn+1 = (1-;)2)/(1+;)2) Vn

b.c.d. je ne sais pas.

4. affirmation pas toujours vraie.

5. je ne sais pas.

merci d'avance de votre aide

[Flodelarab]

En fait ya que 3)bcd qui bloque ?


Est ce que V(n+1)/V(n) est une constante ?
Si oui, on connait que 2 suite particulieres au lycée. Est ce que ça correspond à l'une des 2 ?