Suites récurrentes

[alexis6]

Bonjour,

Une suite récurrente est une application de F(N,E) défini de la sorte:
1 - f(0)=a
2 - pour tout entier n, f(n+1)=g(f(n))

Un exercice récurrent ( un peu d'humour... ) c'est lorsque dans un énoncé on donne une suite définie par récurrence, et qu'il faut alors retrouver l'expression explicite correspondante.

Je me suis pas vraiment renseigné ( en fait si, mais je tombe surtout sur des définitions niveau terminale et exos pas hyper recherchés ), mais je sollicite votre culture pour savoir s'il existe des méthodes particulières ( j'en connais quelques ) pour résoudre ce type de problèmes, s'il existe des vrais problèmes qui ont duré longtemps concernant ce genre de sujets, et enfin s'il existe une théorie sur ce thème-ci.

Merci d'avance!

[mathelot]

bonjour,
il y a différentes méthodes

méthode 1
soient les suites vérifiant

(1)

c'est une relation linéaire et on cherche une base composée de suites géométriques


méthode 2
si , on cherche un intervalle I compact (fermé, borné)
tel que , en espérant monotone.

méthode 3
parfois , on utilise un critère qui indique que la suite est chaotique
théorie du chaos

La convergence est obtenue si la suite est à valeurs réelles ou complexes et
sur l'intervalle I.

Un problème ouvert est celui de la suite de Syracuse ou problème 3x+1

[alexis6]

Merci pour votre réponse, je vais regarder de plus près ces 3 méthodes.

[mathelot]

Merci pour votre réponse, je vais regarder de plus près ces 3 méthodes.

c'est loin d'être évident car on enseigne habituellement les suites
sur des exemples, le choix des exemples reflètant le niveau enseigné.
suite arithmétique, géométrique ---> 1ère
suites convergente et point fixe --> terminale
e.v de suites noyau d'une forme linéaire -->L1
suites de Cauchy --> L1 ou L2
théorie du chaos, systèmes dynamiques , ergodicité --->L3 ou M4
problème 3x+1 Syracuse ---> recherche ??

etc...

[Ben314]

Salut,
Un autre point de vue (pas vraiment différent) :
1) Les suites récurrentes les plus simples qu'on peut imaginer sont celles où ou bien qui, comme par hasard, sont celles que l'on étudie en premier.
2) Un peu plus compliqué, , mais ça reste facile.
3) Ensuite, si on veut une classe de fonction un peu plus "grosse" que les fonctions affines, deux possibilités assez naturelles :
- Les homographies et là, on sait parfaitement ce qu'il va se passer, c'est tout à fait étudiable au niveau Lycée, mais pour vraiment comprendre pourquoi ça marche, il faut un certain bagage, à savoir celui des espaces projectifs.
- Les polynômes en commençant évidement par ceux de degré 2 : sauf que là, ben c'est déjà passablement la m... vu qu'on a affaire à ce qu'on appelle la suite logistique et à son fameux "diagramme des bifurcations". Évidement, avec des polynômes de plus haut degrés, ç'est du même style.

Le dernier point montre que, dès que est à peine compliquée, sauf cas "miraculeux", il ne faut pas espérer un traitement algébrique du problème (i.e. trouver une formule simple donnant Un en fonction de n) donc on se rabat sur des méthodes analytiques consistant uniquement à approximer la valeur de Un et à étudier ce qu'on appelle le "comportement" de la suite : convergence ? si oui, à quelle vitesse ? si non, y-a-t'il convergence vers des "cycles" ou vers l'infini ? si oui, à quelle vitesse ?
Une très bonne bonne façon de voir un peu tout les cas de figures ainsi que la sensibilité aux conditions initiales et la stabilité à de petites variations de la fonction f est de regarder les différents cas de figures de la suites logistique.