Suite tendant vers Pi

[Kah]

Bonjour tout le monde.

J'ai deux suites tendant manifestement vers pi:
On a q0=2V3 et p0=3
Expressions implicites:

q_n+1=2pnqn/(pn+qn)
Et p_n+1=V(pnq_n+1)
Avec V le signe racine carré.


Expressions implicites:
pn=3*2^n*sin(pi/(3*2^n))
et qn=3*2^n*tan(pi/(3*2^n))

Il s'agit ici de prouver que ces deux suites tendent vers pi.

Sa fait un bout de temps que je triture le probleme, et je ne vois pas de pistes serieuses.
Je ne suis pas contre un peu d'aide.

Merci d'avance.

[Sa Majesté]

Bonjour,
Une façon de faire (peut-être pas la plus simple) consiste à montrer que sur [0,2pi]

Puis théorème des gendarmes

[Sa Majesté]

Une autre façon de faire (géométrique) consiste à considérer :
- pn comme le demi-périmètre du polygone régulier a 3.2^n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1
- qn comme le demi-périmètre du polygone régulier a 3.2^n côtés circonscrit au cercle de rayon 1
Quand n tend vers +oo, on "voit" que pn et qn tendent vers le périmètre du demi-cercle, soit pi

[Sve@r]

A une époque, je cherchais pi comme beaucoup et j'avais trouvé que sin(x) * cos(x) * 180/x tendait vers pi quand x tend vers +infini. Ca n'a rien à voir mais ça peut intéresser...

[Kah]

Ok merci pour ces reponses.
Effectivement, cet exo se basait sur un cercle encadré par des polygones. Je pense que je vais me restreindre a la maniere geometrique, mais pas tres rigoureuse. :ptdr:

[oscar]

Voici une figure illustrant la recherche de pi ( Archimede)

http://img98.imageshack.us/my.php?image=archimede1fn6.gif

[Luc]

Une autre façon de faire (géométrique) consiste à considérer :
- pn comme le demi-périmètre du polygone régulier a 3.2^n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1
- qn comme le demi-périmètre du polygone régulier a 3.2^n côtés circonscrit au cercle de rayon 1
Quand n tend vers +oo, on "voit" que pn et qn tendent vers le périmètre du demi-cercle, soit pi

C'est quand même mieux que ça: on peut démontrer mathématiquement que l'écart à Pi tend vers 0, et on peut même avoir la vitesse de convergence.

Il faut faire attention à ce qu'on voit: Si je coupe un segment de longueur 2 en deux que je prend pour diamètre de deux demi-cercles, et que j'itère ce processus à l'infini, la courbe formée par les demi cercles semblent "tendre" vers la droite, mais pourtant leur longueur est Pi, ce qui montrerait que ...

Cordialement,

Luc

PS: Pour conclure ton exercice Kah, il suffit de savoir que en 0 et en 0.