Suite et récurrence double

[Anonyme]

Bonjour à tous, je coince sur un court exo qui traite de la recurrence double. Voici la consigne:

Soit Un la suite définie par U0 = 0 et U1 = 1 et Un+2= 2Un+1-Un.
Calculer U2 U3 et U4. Démontrer par récurrence que Un= n pour tout n apprtient à N.

La démonstration de la double récurrence me pose problème, pourriez vous m'aider ?
Merci, Ladislas

[boulay59]

ce que tu veux montrer est

Initialisation de la récurrence : c'est une récurrence "double" donc il faut initialiser avec deux termes :
Ici, on a bien et

Démonstration au rang n+2 :
On suppose que et (c'est pour ça qu'on a initialisé avec 2 termes)
Alors
Donc , c'est ce que l'on voulait démontrer

Conclusion

[rene38]

Bonjour

Initialisation :
Un = n est vraie aux rangs 0 et 1 (U0=0 et U1=1)
Hérédité :
Hypothèse de récurrence : Supposons Un=n vraie aux rangs k et k+1
c'est à dire Uk=k et Uk+1=k+1
Par hypothèse, Uk+2=2Uk+1 - Uk donc
Uk+2=2(k+1) - k = 2k + 2 - k = k + 2

Si Un=n est vraie aux rangs k et k+1 alors elle est vraie au rang k+2
Or elle est vraie aux rangs 0 et 1
Donc elle est vraie quel que soit le naturel k (ou n)

[Anonyme]

Ha ok, je n'avais pas compris la démarche de l'héredité.
Merci à vous deux pour votre aide!

Ladislas