Double cône de révolution 1ere S

[Laure975]

Bonjour a tous, voilà je suis élève de premiere S et la géométrie dans l'espace est ma bête noire.

Cela fais plusieurs jours que je bloque sur cet exo que je doit rendre a ma prof.

Voici l'énoncé :


Une bouée ayant la forme d'un double cône doit être construite au moyen de deux secteus circulaires plans métalliques de rayon 3 dm (unité choisie le dm)
On désigne par :
h La hauteur du cône
r son rayon de base.
On fixe la longueur de sa génératrice à 3dm.

On se propose de déterminer ses dimensions pour que le volume de la bouée soit maximal.
1) Exprimer le volume V en fonction de r et de h
2) Montrer que ce volume peut s'écrire sous la forme

V(h) = 2/3 (9h-h3) Avec Oh3.


3) Etudier les varations de la fonction V sur [0;3]
En déduire que V admet un maximum Vo pour un réel ho dont on donnera la valeur exacte.

4) a- Calculer le volume maximal de la bouée et en donner une valeur approchée, en dm 3, a 10-3 près.

b- Soit ro le rayon de base correspondant à ce maximum.
Démontrer que ro = ho2


Voilà c'est un peu long mais je suis réellement mal barrée...

Merci par avance

Laure

[rene38]

Bonjour

1) Exprimer le volume V en fonction de r et de h
2) Montrer que ce volume peut s'écrire sous la forme avec

3) Etudier les varations de la fonction V sur [0;3]
En déduire que V admet un maximum pour un réel dont on donnera la valeur exacte.

4) a- Calculer le volume maximal de la bouée et en donner une valeur approchée, en dm 3, a 10-3 près.

b- Soit le rayon de base correspondant à ce maximum.
Démontrer que

Je suppose que tu as déjà su faire certaines choses ...

[Laure975]

bonjour, j'ai trouver que le volume V vaut

V= 2(1/3pi x r^2 x h)

Je ne sais pas si c'est juste mais je ne retombe pas sur le volume de la seconde question

[rene38]

bonjour, j'ai trouver que le volume V vaut

V= 2(1/3pi x r^2 x h)

Je ne sais pas si c'est juste mais je ne retombe pas sur le volume de la seconde question

Exact. Maintenant, exprime r² en fonction de h² (un petit dessin, Pythagore, ...)

[maturin]

1) il te suffit de conanitre la formule d'un cone ce que tu dois avoir dans ton cours (sinon tu tapes volume+cone sous google)
2) tu te sers de la taille de la génératrice pour exprimer r en fonction de h tu remplaces dans l'équation du 1) et tu obtiens ce qu'il faut
3) pour les variations, tu dérives, tu étudies le signe de la dérivée, tu fais un tableau de signe de la dérivée, tu écris les varaition de la fonction corresopndantes. Tu en déduis la valeur de h0 pour avoir le volume maxi.
4)a) tu remplaces la valeurs de h0 dans la formule du volume
b) tu remplaces la valeur de h0 dans la formule de r en fonction de h du 2)

[Laure975]

r^2 = h^2 - 9

Donc V = 2 ( 1/2pi x( h^2-9) x h)
= 2/3pi (9h-h^3)

c'est ça ?

Si c'est ça je ne comprends pas pourquoi on multiplie pas h^2-9 par 2?

[rene38]

r^2 = h^2 - 9

Donc V = 2 ( 1/2pi x( h^2-9) x h)
= 2/3pi (9h-h^3)

c'est ça ?

Si c'est ça je ne comprends pas pourquoi on multiplie pas h^2-9 par 2?

Pas h²-9 mais 9-h²

Volume d'UN cône =

Volume du DOUBLE cône =

[maturin]

alors c'est presque ça, la génératrice c'est l'hypothénuse de triangle rectangle. donc ça va un poil changer ta formule et donc ça te permettra de retrouver la formule souhaitée sans faire d'erreur de signe :)

après tu ne multiplies pas par 2 car tu travaille dans un cone simple pour trouver r en fonction de h.
Et quand tu veux passer à 2 cones tu as déjà pris le facteur 2 en compte dans ton calcul du volume.

[Laure975]

Ok merci beaucoup, je vais essayer de faire la suite grâce a vos explications.

[Laure975]

Oup's je bloque, comment je fais pour dérivé V ??

[maturin]

tu sais ce qu'est une dérivée ?
connais tu la dérivée de la fonction f(x)=x^3 ? et celle de f(x)=x ?

si oui ben là c'est apreil avec des h à la place des x.

[Laure975]

Je ne change pas 1/3 pi ?

Si c'est ça sa me donne

V'(h)= 2/3 pi (3h^2-9)

et si je calcule V''(h) = 2/3pi x 6h

??

[rene38]

La variable est h, tout le reste des constantes.

[rene38]

Je ne change pas 1/3 pi ?

Si c'est ça sa me donne

V'(h)= 2/3 pi (3h^2-9)

et si je calcule V''(h) = 2/3pi x 6h

??

Attention au signe !
V" me semble inutile.

[maturin]

ben ta dérivée est bonne sauf que tu as encore fais une erreur de signe...
t'as v(h)=2pi/3(9h-h^3)
donc v'(h)=2pi/3(9-3h²)=2pi(3-h²)

tu touches pas au 2pi/3 car c'est une constante est la dérivée de f(x)=au(x) c'est f'(x)=au'(x) quand a est cte.

pas besoin de calculer v"(h).
il te faut calculer le signe de v'(h) qui est du signe de 3-h² donc ça donne si 00 et si h>rac(3) alors ...
Rq: tu peux te limiter à h positif car c'est la hauteur de ton cone et une distance est oujours positive.

tu va donc avoir v croissant puis décroissant et le max de v est pour h=rac(3)

[Laure975]

Je ne vois pas l'erreur de signe ?

[maturin]

l'erreur de signe est que tu as mis 3h²-9 et que c'est 9-3h²
tu peux appeler ça une erreur de signe ou une inversion des termes à ton bon vouloir je sais pas comment tu t'es trompée mais ces 2 expressions ne sont pas les mêmes :)