Suite géométrique

[Norma]

Ducoup j'ai Et je ne vois pas comment continuer.

attention dans -Un+1 l'indice est n+1
Un+1 / 2 + Un/2 - Un+1 = Un+1 / 2 + Un/2 - 2* Un+1 /2 = 1/2 ( ...)

Mais je ne dois pas mettre V+1 au même dénominateur aussi?

[danyL]

pour l'instant on calcule Vn+1 = ...
tu peux mettre 1/2 en facteur
puis regrouper les Un+1

à vrai dire je ne comprends pas ta question sur Vn+1

[Norma]

pour l'instant on calcule Vn+1 = ...
tu peux mettre 1/2 en facteur
puis regrouper les Un+1

[danyL]

ok on y est presque
qu'est ce que 1/2(-Un+1 + Un) par rapport à la suite V ?

[Norma]

Ben je retombe sur en simplifiant avec le signe - qui passe devant la parenthèse

Donc Vn+1=-1/2(Vn) ?

[danyL]

oui d'accord mais quelle est la définition de la suite Vn déjà ?
qu'est ce qu'on veut démontrer au final dans ce calcul ?

[Norma]

On veut démontrer que Vn est géométrique et calculer
En montrant que pour tout n

(J'ai conscience que c'est laborieux.. dsl)

[danyL]

Donc Vn+1=-1/2(Vn) ?

ah tu as dû éditer ton post en meme temps que moi
oui c'est ça donc le calcul est fini

[Norma]

Merci beaucoup! Je ferais le 4) demain!!! Merci 1000 fois !!

[Norma]

Bonjour,

4) Soit Sn=V0+V1+V2+...+Vn-1. Exprimer Sn en fonction de n. En déduire l'expression de Un en fonction de n.

Alors j'ai

En revanche pour en déduire Un en fonction de n, je ne vois pas le lien. J'ai

Merci

[danyL]

Sn=V0+V1+V2+...+Vn-1

essaye de calculer Sn en remplaçant les V par leur expression en fonction des U
normalement la plupart des termes vont s'annuler

par exemple si on calcule S3 :
S3 = V0 + V1 + V2
S3 = (U1 - U0) + (U2 - U1) + (U3 - U2)
les termes U1 et U2 s'annulent, il reste :
S3 = - U0 + U3
d'où U3 = U0 + S3
U0 est connu et tu as trouvé l'expression de S en fonction de n

dsl je ne peux pas rester connectée ce soir mais tu vas y arriver

[Norma]

Ce que j'ai fais n'est pas juste du tout ? Tu m'a donné une piste pour exprimer S en fonction de n, la formule que j'ai utilisé n'est pas bonne?

Merci

[Tiruxa47]

Bonjour,

4) Soit Sn=V0+V1+V2+...+Vn-1. Exprimer Sn en fonction de n. En déduire l'expression de Un en fonction de n.

Alors j'ai

Bonjour,
Une petite erreur sur l'exposant, c'est n non pas n+1.
En fait cet exposant correspond au nombre de termes figurant dans la somme.
Ici on commence à V(0) et on finit à V(n-1), il y a donc n termes.

D'autre part q est -1/2 ou -0.5 pour faire plus simple (erreur au dénominateur et oubli des parenthèses autour de -1/2 au numérateur)

[Tiruxa47]

Enfin ce qu'e t'a dit danyL ce n'est pas que ta formule est incorrecte (même s'il y avait une correction à faire comme dit dans mon message précédent)
Il dit que tu peux calculer Un en utilisant le résultat trouvé pour Sn grâce à ta formule.

Il a démontré que U3 = U0 + S3
Tu peux démontrer de la même façon que Un = U0 + Sn
ce qui permet de calculer Un en fonction de n.

[Norma]

Bonjour,

J'ai beau reprendre je ne comprends pas pour le 4. merci

[Lostounet]

Salut Norma,

Voici des explications concernant toutes les questions...

Pour tout entier n, on définit (Vn) par:


Cela signifie qu'en particulier si on exprime le terme suivant,
(on a remplacé les n par "n+1" pour avoir une information sur V(n+1))

Montrons que la suite (Vn) est géométrique.

Nous savons que . Nous souhaitons faire apparaître à droite, dans l'espoir de trouver un nombre k tel que V(n+1) = k*V(n) tu comprends ?

On sait d'office que .
Exploitons la définition de la suite (Un), qui est

Comme:

En ayant remplacépar sa définition.

Donc:





Cela signifie que (Vn) est géométrique de raison !

Calculons

Nous avons alors l'expression de pour tout entier naturel n:





Maintenant, exprimons la somme Sn=V0+V1+V2+...+Vn-1 en fonction de n. Ceci est la somme de "n" termes !
En effet par exemple S3 = V0 + V1 + V2 (trois termes car on s'arrête à (n-1)=3-1=2)


En outre, est la somme des termes d'une suite géométrique connue. On peut directement appliquer le cours, ou bien
remplacer chaque V_n par sa valeur en fonction des résultats:





Or





En effet, ce n'est qu'une simplification car 1.5 = 3/2 et donc diviser par 1.5 c'est multiplier le tout par l'inverse de 3/2 donc par 2/3.

En conclusion,


Par exemple, S3 = 2(1 - (-0.125) = 2.25
Et S3 = U3 - U0 = 2.25 donc le résultat est correct !


Et en faitnous permet aussi de trouver une écriture explicite du terme . Comment? Astucieux !



En fait,
Et


Cela signifie que si on fait
Et si on regarde bien, les termes se simplifient en cascade:



Et si on reprend le cas général:



Or nous savions que Et nous connaissons U0, on isole donc Un:

Ce qui signifie que


Et cette formule explicite se vérifie par exemple:

U(0) = 2(1 - 1) - 2 = -2
U(1) = 2(1 - (-0.5)) - 2 = 2*(1.5) - 2 = 1
U(2) = 2(1 - 0.25) - 2 = -0.5

etc... (ce qui confirme tes résultats calculés de proche en proche au préalable)

[Norma]

Merci, je vais tout reprendre à tête reposée... même après explication, tout coule de source selon le cheminement qu'on me donne, mais je suis incapable de le reproduire, je crois que j'ai aucun esprit de déduction..

Merci !!!

[Lostounet]

Je pense que cet exercice n'est pas un exercice très facile. C'est un exercice de synthèse qui recèle beaucoup de notions et du calcul.

On te demande pas de pouvoir reproduire ce genre d'exercices (par exemple on ne te demande pas de deviner à l'avance qu'une somme telle que Sn va permettre d'exprimer Un par une astuce...).

Par contre on exigera de toi de comprendre les premières questions et celles-là tu dois vraiment les maitriser et donc ne plus être bloquée par une suite géométrique ou pour trouver sa raison ou calculer une somme de termes d'une telle suite (il ne faut pas te tromper sur le nombre de termes).

Pour anticiper les astuces sous-jacentes des exos de synthèse, il faut en avoir fait des tonnes et des tonnes ... et on ne peut y arriver comme ça du premier coup soyons réalistes..

Bref relis demain tout à tête reposée et tu verras que c'est pas si dur quand on voit où on va et qu'on comprend les méthodes.

[Norma]

Je pense que cet exercice n'est pas un exercice très facile. C'est un exercice de synthèse qui recèle beaucoup de notions et du calcul.

On te demande pas de pouvoir reproduire ce genre d'exercices (par exemple on ne te demande pas de deviner à l'avance qu'une somme telle que Sn va permettre d'exprimer Un par une astuce...).

Par contre on exigera de toi de comprendre les premières questions et celles-là tu dois vraiment les maitriser et donc ne plus être bloquée par une suite géométrique ou pour trouver sa raison ou calculer une somme de termes d'une telle suite (il ne faut pas te tromper sur le nombre de termes).

Pour anticiper les astuces sous-jacentes des exos de synthèse, il faut en avoir fait des tonnes et des tonnes ... et on ne peut y arriver comme ça du premier coup soyons réalistes..

Bref relis demain tout à tête reposée et tu verras que c'est pas si dur quand on voit où on va et qu'on comprend les méthodes.

oui je reprends demain merci beaucoup!