Suite et arithmétique

[t.itou29]

Bonsoir,
Je pensais avoir fait le plus dur d'un problème mais en fait non je bloque à la fin :

Soit la suite définie par et .
Soit le nombre de réels tel que .
Déterminer les 3 derniers chiffres de .

J'ai montré que si t n'est pas compris entre 0 et 1 c'est impossible et sinon: et on doit donc avoir . Comme est bijective de [0,1] sur on doit simplement avoir (avec k entier)
On en déduit et là deux possibilités:
- je me suis planté quelque part (très probable...)
- c'est bon mais je n'ai aucune idée pour trouvé le chiffre des unités, les congruences avec les puissances de 2 mod 1000 c'est pas top !

[zygomatique]

salut



1996 = 199 * 10 + 6





199 = 22* 9 + ... ?

....

[Ben314]

Pour savoir à quoi un nombre x est congru modulo 100, il suffit de savoir à quoi il est congru modulo 4 et modulo 25.
Concernant x=2^1996, y'a pas trop de soucis pour savoir à quoi il est congru modulo 4.
Pour la congruence modulo 25, comme 2 est premier avec 25, il existe un entier d tel que 2^d=1 [25] et si on a un peu de bouteille, on sait même que cet entier d divise phi(25)=phi(5²)=4*5=20.
2^5=32=7 [25] ; 2^10=7^2=49=-1 [25] et 2^20=(-1)^2=1 [25] donc d=20 et il faut donc regarder le reste de la division de 1996 par 20 qui est 16 : 2^1996=2^16=(256)^2=6^2=36=11 [25]
Donc 2^1996=11 ou 36 ou 61 ou 86 [100] et, comme il est divisible par 4, c'est 36.

[t.itou29]

Pour savoir à quoi un nombre x est congru modulo 100, il suffit de savoir à quoi il est congru modulo 4 et modulo 25.
Concernant x=2^1996, y'a pas trop de soucis pour savoir à quoi il est congru modulo 4.
Pour la congruence modulo 25, comme 2 est premier avec 25, il existe un entier d tel que 2^d=1 [25] et si on a un peu de bouteille, on sait même que cet entier d divise phi(25)=phi(5²)=4*5=20.
2^5=32=7 [25] ; 2^10=7^2=49=-1 [25] et 2^20=(-1)^2=1 [25] donc d=20 et il faut donc regarder le reste de la division de 1996 par 20 qui est 16 : 2^1996=2^16=(256)^2=6^2=36=11 [25]
Donc 2^1996=11 ou 36 ou 61 ou 86 [100] et, comme il est divisible par 4, c'est 36.

Merci ! ça s'adapte bien avec 1000 avec un peu plus de travail:
Pour le mod 125 on a phi(125)=100 et du coup à partir de 2^2000=1 [125] j'ai résolu 16x=1[125] pour trouver 2^1996=86 [125]
Et à la fin ça donne 2^1996=336 [1000], c'est pas simple comme truc ! C'est limite plus compliqué que de trouver x=2^1996+1 :ptdr:

[t.itou29]

salut



1996 = 199 * 10 + 6





199 = 22* 9 + ... ?

....

Je vois pas trop d'où vient le 24*9 ?

[zygomatique]

pardon :: c'est plutôt 24^9 = .... ?


mais bon Ben314 te propose plus simple ... sur le même principe .....