Suite arithmétique

[Proriko]

Bonsoir à tous,

Suite (Un)
U0=0
Un+1=sqrt(1+Un²)

a)Prouver que (Vn) défini par Vn=Un est arithmétique

b)Exprimez Vn puis Un en fonction de n.

Merci d'avance de votre aide

[annick]

Bonjour,
tu viens d'écrire a)Prouver que (Vn) défini par Vn=Un est arithmétique, ce qui parait un peu surprenant.

[Proriko]

Pardon l'énoncé est Vn=Un² est arithmétique

[annick]

Sachant que Vn=Un², essaye d'exprimer Vn+1 en fonction de Un+1, puis en fonction de Un.
Ensuite exprime Vn+1 en fonction de Vn.
Essaye de bien comprendre ce que tu fais car cette méthode d'utiliser une suite intermédiaire Vn qui est fonction de Un et qui est soit arithmétique soit géométrique est très utilisée dans les problème de suites. Elle permet de calculer Un en fonction de n, même si Un n'est ni arithmétique ni géométrique et que l'on ne connait donc pas de formule toute faite.

[Proriko]

Vn+1=Un+1²
Vn+1=Vn+sqrt(n)

[annick]

ça, je suis d'accord : Vn+1=Un+1², mais ensuite je ne comprends pas.
Que vaut (Un+1)² ?

[Proriko]

Euh... 1+sqrt(n)² soit 1+sqrt(n) ?

[annick]

Ni l'un, ni l'autre.
(V(a))²=a² donc (V(1+Un²))²=1+Un²

[Proriko]

V(a) ? cela represente quoi?

[annick]

C'était un exemple où a est une expression quelconque.

[Proriko]

Désolé , je suis vraiment fatigué (que je suis stupide...)

Donc la suite Vn :

V0 + 1+Un² = V1 + 1+Un²= V2 +1+Un² = V3 ?

[annick]

Oh ! Je viens de m'apercevoir que dans ma notation il peut y avoir une confusion car j'ai l'habitude de noter racine carrée par V mais ici, on avait déjà V pour le nom de la deuxième suite.

Bon, on reprend où on en était :

Vn=Un²

Vn+1=Un+1²=(sqrt(1+Un²))²=1+Un²=1+Vn

Donc Vn est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme V0=U0²=0

Ensuite, dans ton cours, tu as l'expression d'une suite arithmétique en fonction du premier terme et de n.
Donc tu peux calculer Vn en fonction de n.

[Proriko]

Il faut la raison?

[annick]

La raison est 1 puisque Vn+1= 1 + Vn soit Vn+1-Vn=1

[Proriko]

Vn+1=Vn+r ?

[annick]

Je ne comprends plus bien quelles sont tes interrogations.
Oui, Vn+1=Vn+r et Vn+1=Vn + 1 ici, donc r=1

[Proriko]

Vn=V0+n*r c'est bien cette formule?

[annick]

Oui, c'est cela, donc Vn=V0+n*r avec V0=0 et r=1 donc Vn=n

On peut maintenant calculer Un en fonction de n car :

Vn=Un² soit Un=sqrt(Vn)=sqrt(n)

[Proriko]

Super merci beaucoup pour votre aide cette soirée , je suis très heureux de voir que des gens se donnent la peine d'aider à des heures assez tardives .

Excellente soirée à vous

[annick]

Pareil pour toi, mais surtout j'espère que tu as compris la démarche. Sinon, reprends ça à tête reposée car c'est vraiment un exercice type.