Suite Arithmétique

[skater41]

Bonjour,

J'ai des exercices de révisions à faire pendant les vacances, et je bloque sur une question dans un exercice sur les suites.

Soit la suite définie par

Démontrer que () est décroissante.

Je sais qu'il faut commencer comme ceci


Ou encore


Mais je ne sais pas comment il faut faire le calcul, si vous pouviez m'aider en me donnant une piste ...

Merci d'avance

[Djmaxgamer]

,
Avec .
Regarde la monotonie de f. Si elle est croissante, est monotone, si elle est décroissante, et sont monotones. Compare ensuite les premiers termes de la suite pour conclure.

Tu trouvera f strictement croissante et donc strictement monotone. donc la suite est strictement décroissante.

[skater41]

Pour regarder la monotonie de la fonction f(x) il faut utiliser un tableau de signe, en le remplissant avec la dérivé de la fonction f(x) ?

[Djmaxgamer]

Ou tu peux tout simplement calculer la dérivée de f, son signe sera évident, et le tableau de signe ne sera pas nécessaire (mais la procédure est la même : dériver, regarder le signe).

Connaissais-tu la propriétés des suites que j'ai rappelé ?

[skater41]

Non, ces propriétés ne me disent rien.
Et pourquoi mets tu () ?

[Djmaxgamer]

Non, ces propriétés ne me disent rien.
Et pourquoi mets tu () ?

A d'accord. C'est niveau bac+1 donc si tu es en terminale, il va falloir faire autrement. Soit en utilisant indirectement cette propriété, soit en utilisant une méthode plus terminale.

Tu peux tout d'abord montrer par récurrence que , Puis en utilisant cela :
Tu as , et donc la suite est strictement décroissante.


PS : je suis désolé j'ai cru que le topic était dans supérieur, donc j'ai traité le problème en prenant cela en compte.

[skater41]

D'accord pas de problème, j'entre effectivement en terminale.

Quel calcul faut-il faire pour calculer par récurrence ?

[Djmaxgamer]

Tu connais le principe d'une démonstration par récurrence ? (parce que si je me souviens bien on voit ça en terminale)

[skater41]

Non, et oui effectivement on voit ça en terminale.

Mais je crois me souvenir qu'il faut utiliser quelque chose comme ou encore

Mais je n'ai aucun souvenir de comment il faut démarrer à partir de là, je sais qu'à la fin il faut comparer par rapport à 1 comme tu l'as fait, mais entre les deux ...

[Djmaxgamer]

Non, et oui effectivement on voit ça en terminale.

Mais je crois me souvenir qu'il faut utiliser quelque chose comme ou encore

Mais je n'ai aucun souvenir de comment il faut démarrer à partir de là, je sais qu'à la fin il faut comparer par rapport à 1 comme tu l'as fait, mais entre les deux ...

En fait ce que j'ai fait plus haut

C'est regarder . Mais pour pouvoir conclure on a besoin de . C'est un exercice de terminale ? Parce que sans récurrence ça va être compliqué.

[Olympus]

( tu peux le vérifier )

Donc il te suffira de prouver que comme l'a dit Djmaxgamer, pour en déduire que et que donc est décroissante .

[skater41]

Logiquement ça ne doit pas être un exo de terminale parce que c'est un exo de révision avant l'entrée en TS.

Je suis sûr d'avoir fait ça durant l'année mais je ne me souviens plus ..

[Djmaxgamer]

[quote="Olympus"] ( tu peux le vérifier )

Donc il te suffira de prouver que comme l'a dit Djmaxgamer, pour en déduire que . Sans une récurrence...
Voici comment tu peux montrer cette propriété par récurrence :
Tu montre que c'est vrai au rang 0 (initialisation), puis tu montrer que si la propriété est vraie au rang n, elle est vraie au rang n+1 (hérédité). Cela montre que pour tout n>0, la propriété est vraie. (tu peux te le représenter : vraie et donc c'est vrai pour tout n ). Ce n'est pas le principe de récurrence en général (tu peux faire une récurrence à partir d'un rang , il existe aussi une récurrence dite complète qui consiste à montrer l'hérédité : vraies vraie) Mais ici, c'est la récurrence à utiliser (la complète n'est pas nécessaire)

[skater41]

Ok, merci beaucoup de vos aides !
Je vois comment il faut faire.