Spé mathsPGCD.....aidez moi!!!!!!!

[mostdu95]

bonsoir ; voilà l'ennoncé ( c'est juste la 5 QUI ME POSE PBlème..!!)

x,y st des entiers naturels vérifiant x<y
S est l'ensemble des couples (x,y) tels que PGCD(x,y)=y-x
1).a)calculer PGCD(363,484) ( c'est fait..)
b)le couple(363,484)appartient-il à S ( c'est fait aussi)
2)soit n un entier nn nul ;le couple (n,n+1) appartient -il à S? (c'est fait aussi
3)a)montrer que (x,y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel K nn nul tel que x = k(y-x) et y = (k+1)(y-x) c'est fait )
4)en deduire que PPSM(x;y)=k(k+1)(y-x) (c'est fait)
5)en deduire l'ensemble des coouples (x,y)de S tels que PPCM(x;y)=228

aidez moi et merci d'avance :hein: :we:

[mostdu95]

pas de réponse alors............ :triste: :cry2: :cry:

[yos]

Bonjour.
Si , alors il existe deux entiers k et l (premiers entre eux, mais on ne s'en servira pas) tels que x=(y-x)k et y=(y-x)l. On a alors y-x=(y-x)l-(y-x)k. On peut simplifier par (y-x) car il est non nul et on obtient l=k+1.
La réciproque est plus facile.

[mostdu95]

ah....merci beaucoup Yos POUR TON AIDE ( j'ai trés bien compri :king2: )
je me bolque encore sur la dernier quest° que j'ai pas met ds l'ennoncé que je compléte maintenant :
4)en deduire que PPSM(x;y)=k(k+1)(y-x)
5)en deduire l'ensemble des coouples (x,y)de S tels que PPCM(x;y)=228
bon pour la 4) j'ai fait :
PPCM*PGCD = xy dc PPCM =xy/y-x (et j'ai bien trouvé le résultat..!!)
mais pour la 5 je me bloque vraiment ...
je vous remercie encore une fois ..

[mostdu95]

ah....merci beaucoup Yos POUR TON AIDE ( j'ai trés bien compri )
je me bolque encore sur la dernier quest° que j'ai pas met ds l'ennoncé que je compléte maintenant :
4)en deduire que PPSM(x;y)=k(k+1)(y-x)
5)en deduire l'ensemble des coouples (x,y)de S tels que PPCM(x;y)=228
bon pour la 4) j'ai fait :
PPCM*PGCD = xy dc PPCM =xy/y-x (et j'ai bien trouvé le résultat..!!)
mais pour la 5 je me bloque vraiment ...
je vous remercie encore une fois .. :happy2:

[mostdu95]

aidez moi s'il vous plait............!!!!!!!!!!

[armor92]

Bonsoir,

Pour ta question 5)
On sait que k et k+1 sont des diviseurs de PPCM(x,y) = 228
Il faut donc chercher deux diviseurs consécutifs de 228
228 = 2^2 * 3 * 19
228 a pour diviseurs :
1,2,3,4,6,12,19,38,57,76,114,228
Donc les seules possibilités pour k et k+1 sont :
k=1, k+1=2
k=2, k+1=3
k=3, k+1=4
Dans tous les cas on a y-x = 228/(k*(k+1))

Pour k = 1, y-x= 228/(k*(k+1))=114
y = (k+1)*(y-x) = 228
x = k*(y-x) = 114

Pour k = 2, y-x= 228/(k*(k+1))=38
y = (k+1)*(y-x) = 3*38 = 114
x = k*(y-x) = 2*38 = 76

Pour k = 3, y-x= 228/(k*(k+1))=19
y = (k+1)*(y-x) = 4*19 = 76
x = k*(y-x) = 3*19 = 57

Donc trois solutions : (228,114), (114,76), (76,57)

[mostdu95]

merci bien armore92.................. :king2: :salut: