Spé maths : arithmétique

[Anonyme]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire la question 3.a et 4. Pourriez vous m'aider?

Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.
1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au +bv = 1
alors les nombres a et b sont premiers entre eux.
b. En déduire que si (a2+ab;)b2)2 = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
2. On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a ; b)
tels que (a2+ab ;)b2)2 = 1. Un tel couple sera appelé solution.
a. Déterminer a lorsque a = b.
b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particuliéres.
c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a < b , alors a2 ;)b2 < 0.
3. a. Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y ;)x ; x) et (y ; y +x) sont aussi des solutions.
b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions.
4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n définie par
a0 = a1 = 1 et pour tout entier n,n>0, an+2 = an+1 +an .
Démontrer que pour tout entier n>0, (an ; an+1) est solution.
En dÈduire que les nombres an et an+1 sont premiers entre eux.

[Chimerade]

3-a)
Si (x,y) est solution, alors :
Soit X,Y un couple défini par : X=y-x, Y=x ; calculons :


Soit X,Y un couple défini par : X=y, Y=y+x ; calculons :



On note que le couple (y-x,x) et le couple (y,y+x) vérifie l'équation indiquée. Reste à vérifier que chacun de ces deux nombres est strictement positif.
Pour (1,1) ce n'est pas le cas. Est-il possible qu'un couple (x,x) soit solution si
Il est clair que l'expression se réduit alors à : soit ce qui n'est possible que si x=1.
Donc, dès l'instant que le couple est différent de (1,1), les deux valeurs x et y sont nécessairement différentes et donc le couple (y-x,x) est solution. La restriction selon laquelle le couple doit être différent de (1,1) ne s'applique d'ailleurs pas à la procédure formant le couple (y+x,y).

A partir de (1,1) on peut ainsi former (1,2).
A partir de (5,8) on peut ainsi former (3,5) et (8,13).

La question 4 est alors triviale !