Signe de la fonction dérivée

[Anthoo21]

Bonjour, j'aurais besoins de votre aide pour comprendre quelque chose:
On a une fonction et quand on la dérive on fait une équation de f'(x)=0 pour savoir quand la derivee s'annule on trouve x= a/racine de 8
Et quand on fait notre tableau de signe, on place moins infini et plus infini et entre les deux on place aussi a/racine de 8 et en colonie on y met f'(x) et f ou l'on y met dans la ligne de f'(x) négatif entre -infini et à/racine de 8 et positif entre à/racine de 8 et +infini et pour la ligne de f (les signes de f' donne les variations de f) donc flèche descendante puis montante et je voudrais savoir pourquoi on y met d'abord le signe négatif entre -infini et à/racine de 8 et positif de l'autre côté, merci

[pascal16]

il nous faudrait l'expression de f(x) pour te répondre

la technique est toujours la même :
on a f
on calcul f'
on regarde quand f' s'annule
on regarde quand f' est positive ou négative (je pense que c'est là que tu bloque)
si f' est une fonction affine, elle est croissante quand son coefficient directeur est positif, donc dans le tableau de signe, elle est négative, elle s'annule puis est positive

[Anthoo21]

Merci de votre réponse, oui c'est exactement là où je bloque car je ne comprend pas, ma fonction f(x) est compliqué à écrire: f(x)= racine carré de 3 multiplié par (grande racine carré de a^2/4 + x^2 ) - x
Et f'(x)= (grande racine carré de 3x^2/ (a^2/4 + x^2) ) -1

Donc ici f'(x) est une fonction affine comme vous dites mais pour trouver son coefficient directeur je ne m'en souviens plus comment il fait faire^^

C'est une fonction compliqué car c'est pour nos TPE on travaille sur l'optimisation des alvéoles des abeilles

[pascal16]

sauf erreur de ma part :







La dérivée n'est pas du tout une fonction affine

edit : corrigé

[Anthoo21]

Non il manque le "-x" à la fin de la fonction qui n'est pas compris dans la racine
donc c'est bien f'(x)=racine carré de (3x^2/ (a^2+x^2)) -1
Donc si j'ai bien compris comme racine de quelque chose est toujours positif ce sera les signes contraires de x donc positif puis négatif ?

[pascal16]

sur R tout entier, il y a 2 racines, mais x doit être positif pour que l'implication quand je passe au carré soit possible.
donc il y a 1 seule solution x=

de plus quand x est positif et très petit, le terme sous la racine est bien plus grand que , donc f' est négative au départ, s'annule puis devient positive ensuite

[Anthoo21]

Et cela change quoi sur le signe ? Car le calcul ici sert principalement à savoir quand la derivee s'annule... Merci

[pascal16]

on peut aussi résoudre f'(x) >= 0, mais c'est plus long et avec un passage au carré, ça fait 2 sous-cas en plus et autant de risque de se tromper.
On se contente de regarder où elle s'annule, ensuite en prenant des valeurs avant et après là où elle s'annule, ça donne le signe (ou en regardant l'allure de la courbe en la traçant à la calculette).
L'optimum est atteint quand f'(x)=0, c'est pour ça qu'on résout de préférence cette équation car c'est elle qui donne la solution finale

[Anthoo21]

Donc si on prend 1,
1<a/racine de 8
Et grâce à ça on peut connaître les signes de la fonction?

[pascal16]

est du même signe que


regardons pour x>0






(les étapes qui coincent sur R entier ne coincent pas pour x>0, je travaille en équivalence)

donc f'(x)>=0 pour

de même pour f'(x) <=0

[Anthoo21]

Oui et donc comment peut on connaître le signe de f'(x) entre -infini et a/racine de 8 avec f'(x)>=0 pour x>= a/racine de 8

[pascal16]

regardons pour x<0


ce qui est à gauche est négatif, ce qui est à droite est positif, l'inéquation n'a pas de solution
si f'(x) n'est pas positive pour tout x<0, elle est négative

PS : le x que tu as choisi, s'il représente une distance, est forcément positif.
Dans la réalité physique, il se peut que l'ensemble de définition soit [0 ; +oo[ et donc qu'on ait que x>=0 à étudier