Segments dans l'espace

[youkef-sne]

J'ai un petit problème avec un exercice:
Considère 2n point de l'espace où est n est un entier supérieur ou égal à 2.
On construit n^2 + 1 segment entre ses point.
Montrer qu on a tracé au moins un triangle. Le problème c'est comment faire ?

[Cliffe]

Les points / segments sont distincts ?

[youkef-sne]

Les points / segments sont distincts ?

Normalement oui

[Tiruxa]

Pour n égal à 2, il est facile de voir que si l'on trace une chaîne de 4 segments reliant les 4 points tout segment supplémentaire forme un triangle, donc pour 5 segments (n²+1) on a au moins un triangle.

Le cas général sera donc abordé pour n supérieur à 3.

On trace de même une chaîne de 2n segments reliant les 2n points.

Ensuite de chaque point A de la chaîne on trace un segment le reliant à un autre point de la chaîne en excluant les points adjacents à A, notons les B et C ainsi les points adjacents à B et C sinon on aurait un triangle, cela fait donc 2n-5 possibilités,.
Comme il y a n possibilités pour A (n seulement sinon on retrace les mêmes) on rajoute ainsi n(2n-5) segments
En tout on en a 2n+n(2n-5) soit 2n²-3n.

Tout segment supplémentaire va former un triangle.

Or pour n supérieur à 3, 2n²-3n < n²+1
Donc n²+1 segments forment au moins un triangle.

[youkef-sne]

Ah ouai d'accord merci :++: