Rotation ?

par **Anonyme** » 13 Mai 2010, 13:28

Bonjour,

Dans un exercise je dois trouver la transformation géométrique qui correspond a:

x'=-y+2
y'=x+3

Voici les grandes lignes de la demo:

Je trouve les coordonnes du point invariant I puis je démontre que pour tout M, IM=IM' avec M' l'image de M.

Puis grâce au produit scalaire je démontre que cos(IM,IM')=0 et donc que l'angle MIM'=90 degrés (angle géométrique).

Maintenant pour trouver la mesure de l'angle orienté (IM,IM') le prof a proposé de prendre un point fixe de déterminer son image et de voir si (IM,IM')=+90 ou (IM,IM')=-90.

Je ne suis pas très convaincu par la façon par laquelle il détermine la valeur l'angle orienté (IM,IM'). Je m'explique :
Ce qu'on a démontré c'est que l'angle géométrique MIM' est constant pour tout M mais on a pas démontré que quelque soit M l'angle orienté (IM,IM') a une valeur constante et donc on ne peu pas prendre un exemple pour déterminer le signe de l'angle (IM,IM').

Qu'en pensez vous ?

Merci

par **Ericovitchi** » 13 Mai 2010, 13:59

mais on a pas démontré que quelque soit M l'angle orienté (IM,IM') a une valeur constante

--> si, parce que tu as déjà démontré que cos(IM,IM')=0

par **Anonyme** » 13 Mai 2010, 14:47

personne ? :mur:

par **Ben314** » 13 Mai 2010, 15:55

Salut,
Ta remarque est trés pertinente, mais en fait, si par exemple l'angle géométrique est de 90° comme ici, l'angle orienté est donc de +90° ou bien -90° et on peut utiliser un argument de continuité pour dire qu'il ne peut pas "sauter" de +90° à -90° [vu la formule, si M1 et M2 sont trés proches alors leurs images sont aussi trés proches]
Bon, je sais, cet argument n'est pas trés joli dans une démarche géométrique, mais il permet de se convaincre sans vraiment faire de nouveaux calculs ni toute une théorie que ton prof à raison...
(Par contre, je le redit, c'est extrèmement pertinent comme remarque)

Bon, sinon, pour trouver l'angle orienté de la rotation, si tu l'as déjà vu, une bonne solution est de passer par les complexes :
rotation d'angle +Pi/2 multiplication par +i (argument=+Pi/2)
rotation d'angle -Pi/2 multiplication par -i (argument=-Pi/2)

Autre méthode :

Tu as déjà utilisé le fait que, si on a deux vecteurs u:(x,y) et u':(x',y'), le cosinus de l'angle (u,v) est :
cos(u,v)=u.v/(||u|| ||v||) [où u.v est le produit scalaire]
ce qui au niveau calculatoire donne
cos(u,v)=(xx'+yy')/(racine(x²+y²)racine(x'²+y'²))

En fait, c'est pas trés difficile de montrer qu'il y a une formule semblable pour le sinus de l'angle orienté :
sin(u,v)=(xy'-yx')/(racine(x²+y²)racine(x'²+y'²))

et cela te permettrait, dans le cadre de ton exo, de montrer que, pour tout point M différent de I on a
sin(IM,IM')=+1 (ou IM et IM' sont bien sûr des vecteurs)

par **Nightmare** » 13 Mai 2010, 16:14

Salut !

autre méthode rapide niveau lycée, si tu as vu l'expression complexe des transformations du plan : Je note z=x+iy et z'=x'+iy' son image pas notre transformation affine.

On a

ce qui nous permet d'affirmer que la transformation recherchée est la rotation de centre (3,2) et d'angle pi/2

:happy3:

par **Anonyme** » 13 Mai 2010, 16:30

Ben314 a écrit:Salut,
Ta remarque est trés pertinente,

Merci :id: Je croyais que je me posais beaucoup de question pour rien surtout quand je passe mon temps avec des personne qui ne comprennent rien a mes questions.

Ben314 a écrit: [vu la formule, si M1 et M2 sont trés proches alors leurs images sont aussi trés proches]

J'y avais pas du tout pensé.
En effet cela permet de mieux imaginer ce qui ce passe.

Tu as déjà utilisé le fait que, si on a deux vecteurs u:(x,y) et u':(x',y'), le cosinus de l'angle (u,v) est :
cos(u,v)=u.v/(||u|| ||v||) [où u.v est le produit scalaire]
ce qui au niveau calculatoire donne
cos(u,v)=(xx'+yy')/(racine(x²+y²)racine(x'²+y'²))

En effet c'est ce que j'ai fait.

En fait, c'est pas trés difficile de montrer qu'il y a une formule semblable pour le sinus de l'angle orienté :
sin(u,v)=(xy'-yx')/(racine(x²+y²)racine(x'²+y'²))

Voila qui est plus convainquant et surtout probant.
Tu démontre cette relation comment ?

Donc en fin de compte pour démontrer qu'il s'agit d'une rotation je dois démontrer que le cos et le sin de l'angle sont constant puis déduire que l'angle oriente est constant et donc il s'agit d'une rotation ...
Se limiter au cosinus est donc insuffisant.

Merci pour tout Ben :zen:

par **Anonyme** » 13 Mai 2010, 16:36

Concernant les transformation avec les complexe j'ai pas encore vu mais cela parait de loin plus facile et plus adapté comme tu le montre Nightmare :++:

Autre chose: pouvez vous trouver un contre exemple dans lequel on obtient:
IM=IM' et cos(IM,IM')=cte sans qu'il ne s'agisse d'une rotation (donc sans qu'on ait sin(IM,IM')=cte) ?

J'aimerais bien trouver un tel contre exemple et la montrer a mon prof ..

par **Ben314** » 13 Mai 2010, 16:48

Je le redit (et Nightmare aussi), si tu les as vu, le plus rapide c'est les complexe (sauf que Nightmare c'est gourré, le centre, c'est le point fixe de la transformation et c'est pas 3+2i le point fixe... :zen:)

Aprés, si tu veut la méthode avec le sinus, déjà, t'as juste à regarder le signe de xy'-yx' [où (x,y) et (x',y') sont les coordonnées de IM et IM'] pour conclure, vu que quand on connait le cos d'un angle, on n'a besoin que du signe du sinus pour trouver l'angle.
Mais, tu peut quand même calculer "complètement" le sinus pour vérifier que c'est cohérent avec le cosinus que tu as trouvé (i.e. que sin²+cos²=1)

Aprés, sur la façon dont on démontre la formule, je sais pas trop ce que vous avez comme définition des angles orienté...
Perso, j'écrirais les vecteurs u:(x,y) et u':(x',y') en coordonnées polaires :
x=r.cos(t) ; y=r.sin(t) où r=racine(x²+y²) et t est l'angle orienté de i (1er vecteur de la base ) vers u (fait un dessin)
De même x'=r'.cos(t') ; y'=r'.sin(t') où r'=racine(x'²+y'²) et t' est l'angle orienté de i (1er vecteur de la base ) vers u'.
Dans ce cas, l'angle orienté de u vers u', c'est t'-t donc on a
sin(u,u')=sin(t'-t)=sin(t')cos(t)-cos(t')sin(t)=(y'/r').(x/r)-(x'/r').(y/r)
=(xy'-yx')/(rr')

Evidement, ^tu montre de même que
cos(u,u')=(xx'+yy')/rr')

par **Ben314** » 13 Mai 2010, 17:04

Qmath a écrit:Concernant les transformation avec les complexe j'ai pas encore vu mais cela parait de loin plus facile et plus adapté comme tu le montre Nightmare :++:

Autre chose: pouvez vous trouver un contre exemple dans lequel on obtient:
IM=IM' et cos(IM,IM')=cte sans qu'il ne s'agisse d'une rotation (donc sans qu'on ait sin(IM,IM')=cte) ?

J'aimerais bien trouver un tel contre exemple et la montrer a mon prof ..

Comme je te l'ai dit au dessus, si une telle fonction existe elle ne peut pas être continue, donc, au mieux elle va se présenter sous la forme de plusieurs forumules du type
" x'=.. et y'=.. si le point (x,y) et dans cette 'zone' sinon x'=... et y'=..."
ce qui n'est pas trés joli (et sort du programme du secondaire...)

par exemple, tu peut prendre :
x'=-y et y'=x si x>0 (qui correspond à une rotation de pi/2)
x'=y et y'=-x xi x<=0 (qui correspond à une rotation de -pi/2)

mais, il n'y a pas de contre exemple avec "une seule" formule du type
x'=ax+by+c
y'=dx+ey+f

par **Nightmare** » 13 Mai 2010, 17:08

Ben314 a écrit:(sauf que Nightmare c'est gourré, le centre, c'est le point fixe de la transformation et c'est pas 3+2i le point fixe... :zen:)

Effectivement... :--:

par **Anonyme** » 13 Mai 2010, 18:53

Merci pour tout !

par **benekire2** » 14 Mai 2010, 10:07

sinon il y a toujours la méthode à mi chemin avec les complexes ... si tu as vu ( et démontré) comment s'écrit une rotation ...

soit O le centre de la rotation. On note t son angle.

Dans le repère (O;i,j) Soit M'(x',y') l'image de M(x,y) par la rotation.

x=OM cos(k) et y=OM sin(k)

d'où x'=OM' cos(t+k) et y'=OM' sin(t+k)
donc x'=OM cos(t+k) et y'=OM sin(t+k)

soit après développement réduction :

x'=OMcos(k)cos(t)-OMsin(k)sin(t) et y'=OMcos(k)sin(t)+OMsin(k)cos(t)

c'est à dire

x'=xcos(t)-ysin(t)
y'=xsin(t)+ycos(t)

Maintenant si c'est pas une rotation de centre O et que c'est une rotation de centre I(a,b) alors si on pose x'=x-a y'=y-b on se ramène à une rotation de centre 0 . L'écriture d'une rotation en général est très très semblable à celle avec les complexes... mais avec deux composantes.

x'=(x-a) cos(t) - (y-a) sin(t) +a
y'=(x-b) sin(t) + (y-b) cos(t) +b

alors ensuite pour ton problème, soit tu translate et tu utilise la première formule soit, tel le bourrin, tu as identifié le centre (5/2;-1/2) et tu écrit
x'=-y+2
y'=x+3

et tu conclus en réécrivant comme dans la formule (immonde)

par **Nightmare** » 14 Mai 2010, 12:18

benekire2 a écrit:sinon il y a toujours la méthode à mi chemin avec les complexes ... si tu as vu ( et démontré) comment s'écrit une rotation ...

soit O le centre de la rotation. On note t son angle.

Dans le repère (O;i,j) Soit M'(x',y') l'image de M(x,y) par la rotation.

x=OM cos(k) et y=OM sin(k)

d'où x'=OM' cos(t+k) et y'=OM' sin(t+k)
donc x'=OM cos(t+k) et y'=OM sin(t+k)

soit après développement réduction :

x'=OMcos(k)cos(t)-OMsin(k)sin(t) et y'=OMcos(k)sin(t)+OMsin(k)cos(t)

c'est à dire

x'=xcos(t)-ysin(t)
y'=xsin(t)+ycos(t)

Maintenant si c'est pas une rotation de centre O et que c'est une rotation de centre I(a,b) alors si on pose x'=x-a y'=y-b on se ramène à une rotation de centre 0 . L'écriture d'une rotation en général est très très semblable à celle avec les complexes... mais avec deux composantes.

x'=(x-a) cos(t) - (y-b) sin(t) +a
y'=(x-a) sin(t) + (y-b) cos(t) +b

alors ensuite pour ton problème, soit tu translate et tu utilise la première formule soit, tel le bourrin, tu as identifié le centre (2;3) et tu écrit
x'=-y+2
y'=x+3

et tu conclus.

C'est la même chose que ce que j'ai fais, sans la lettre "i" :lol3:

par **benekire2** » 14 Mai 2010, 12:23

oui, c'est d'ailleurs ce que j'ai dit au début, c'est pareil qu'avec les complexes, mais sans :zen:

'ai corrigé les erreurs de mon post aussi ...

Rotation ?

Rotation ?

Qui est en ligne