Restriction de f

[PsychoEnder]

salut,
je bloque sur cet exercice

On considére f l'app définie par
f: ℝ+ -----> ℝ
x -----> f(x)=x-√x
(f n'est ni surj ni inj )

Soit g la restriction de f sur [1/4 ; +∞[
1) Mq g est une bij de [1/4 ; +∞[ vers [-1/4 ; +∞[
2) Déterminer g-1(x) sa bijection réciproque.

on n'a pas déjà étudier les restrictions des fonction
Merci d'avance

[catamat]

Bonjour
Restriction cela signifie seulement que x est élément de [1/4 ; +∞[ .

A la question 1) on considère un élément y de [-1/4 ; +∞[ et on souhaite démontrer qu'il existe un et un seul x élément de [1/4 ; +∞[ tel que f(x)=y

Il faut donc résoudre cette équation d'inconnue x.
On pourra poser X= pour se ramener à du second degré, attention toutefois, x doit être supérieur à 1/4 donc X doit être supérieur à 1/2.

[PsychoEnder]

donc on parle de:
g : [1/4 ; +∞[-----> ℝ
x -----> g(x)=x-√x
ce ça?

[mathelot]

y=X^2-X
on calcule X fonction de y grâce au trinôme

[mathelot]

Bonsoir,

√(x) désigne la racine carrée de x.

y=x-√(x)
g est continue et strictement croissante de [1/4;+oo[ sur [-1/4;+oo[. g est donc une bijection
de [1/4;+oo[ sur [-1/4;+oo[

De plus g(1)=0

calcul de x, fonction de y
On pose X=√(x)

Il vient:
y=X^2-X
X^2-X-y=0

calcul du discriminant
∆=1-4(-y)=1+4y
X1=1/2(1+√(1+4y))
X2=1/2(1-√(1+4y))

d'où X étant égal à √(x):
x1 = X1^2
x1=1/4(1+(1+4y)+2√(1+4y))
x1=1/2+y+1/2√(1+4y)
et
x2=1/2+y-1/2√(1+4y)

Pour y=0,x1=1;x2=0
d'où
g-1=1/2+y+1/2√(1+4y)

[Ben314]

Salut,
C'est ni mieux, ni pire, mais moi, pour résoudre x-√x=y, j'aurais dit que c'est équivalent à √x=x-y donc à x=(x-y)^2 avec x-y>=0.