Résoudre une systeme de Complexes

[benjinight]

Bonjour a tous,
Alors voici l'énoncé ->

(1+i)z + (2-i) z' = 9-i
(1-3i)z - (1-i) z'= -6-2i
Alors il faut résoudre ce systeme d'équation,
Mais le probleme c'est que , un nouveau prof est arrivé mais on n'a pas encore fais le cours ,alors et bien je galere , que répresente z ? et z'?
Je sais que i est la partie imaginaire,
mais ensuite bah rien a faire que faut-il faire?

merci d'avance

[Monsieur23]

Bonjour.

z et z' sont les inconnues de ce système.

Un système à coefficients complexes se résout exactement de la même façon qu'un système à coefficients réels !

[benjinight]

Ah , avec x et y je comprends largement mieux ^^
Donc je devellope :


(1+i)x + (2-i) y = 9-i
(1-3i)x - (1-i) y= -6-2i

x+x i+2y-yi=9-i
x-3x i+y-yi=6-2i

x+xi= 9-i-2y+yi
x+x= (9-i-2y+yi)/i
x= (1/2)((9-i-2y+yi)/i)

Je remplace dans l'autre équation x par (1/2)((9-i-2y+yi)/i)?

donc (1-3i)(1/2)((9-i-2y+yi)/i) - (1-i) y= -6-2i
Est ce bon?
Mais comment on vire les i?

et franchement la j'arrive pas a dévellopé tout ça T_T

[Monsieur23]

(1+i)x + (2-i) y = 9-i
(1-3i)x - (1-i) y= -6-2i

=> x = ( 9 - i - (2-i)y ) / ( 1+i )

De là, tu remplaces x par ça dans la deuxième équation, et tu trouves y.
Une fois que tu as y, tu trouves x.

Les calculs doivent être très moches, mais bon, 'faut bien les faire quand même... ;-)

[benjinight]

Et par combinaison , ça serait pas mieux?

(1+i)z + (2-i) z' = 9-i
*(1-i) =
(1+i)(1-i)z+(2-i)(1-i)z'=(9-i)(1-i)

(1-3i)z - (1-i) z'= -6-2i
*(2-i) =
(1-3i)(2-i)z+(1-i)(2-i)z'=(-6-2i)(2-i)

J'additionne les 2 équations :
(1+i)(1-i)z+(2-i)(1-i)z'=(9-i)(1-i)
+
(1-3i)(2-i)z+(1-i)(2-i)z'=(-6-2i)(2-i)
=
(1+i)(1-i)z+(1-3i)(2-i)z=[(9-i)(1-i)][-6-2i)(2-i)]
(1-i+1-i²)z+(2-i-6i+6i²)z=(9-9i-i+i²)(-12+6-4i+2i²)
(2-(-1)-i)z+(2+(-6)-7i)z=(9+(-1)-10i)(-6+(-2)-4i)
(3-i)z+(-4-7i)z=(8-10i(-8-4i)
Jusque la c'est bon?
mais ensuite si je distribue le z sa va me faire des z*i et bah je sais pas comment résoudre un z*i alors , quelle est la meilleure chose a faire ici? :s

[Monsieur23]

J'additionne les 2 équations :

Fais gaffe, il faut les soustraire, tes deux équations.

Ensuite, les i ne posent pas de problèmes.

Tu auras quelque chose du genre (a+ib) z = c+id

Donc z = (c+id) / (a+ib)

Tu multiplies en haut et en bas par (a-ib) pour ne plus avoir de i au dénominateur, et le tour est joué !

[benjinight]

Ah merci bien pour la méthode du i

Zut faut que je recommence tout avec une soustraction?

[Monsieur23]

Ah ben oui.

Sinon, quand tu as ajouté tes équations, pourquoi as-tu fais une multiplication des seconds membres ?

[Monsieur23]

(1-3i)z - (1-i) z'= -6-2i
*(2-i) =
(1-3i)(2-i)z+(1-i)(2-i)z'=(-6-2i)(2-i)

Ah non attend ! Recommence pas tout ! :lol4:

C'est ici, pourquoi as-tu changé le signe ?

L'addition était bonne, mais ici c'est un signe "-".

[benjinight]

raaa :briques:
ah le signe - parti , lol trop bete ><
Bon alors je refais l'addition du coté droite du =

[benjinight]

multiplication:
(1+i)(1-i)z+(2-i)(1-i)z'=(9-i)(1-i)
(1-3i)(2-i)z-(1-i)(2-i)z'=(-6-2i)(2-i)

addition :

(1+i)(1-i)z+(1-3i)(2-i)z=(9-i)(1-i)+(-6-2i)(2-i)

developpement :

(1-i+i-i²)z + (2-i-6i+3i²)z = 9-i-i+i²-12+6i-4i+2i²
(1-i²)z + (2-7i+3i²)z = 9-2i+i²-12+2i+2i²
(1+1)z + (2-7i-3)z = 9-2i-1-12+2i-2
2z + (-1-7i)z = -6
(1-7i)z = -6

est ce bon?
donc
(1-7i)z=-6
donc
z = -6/(1-7i)
Je remplace donc z par -6/(1-7i) dans la seconde équation?

[Monsieur23]

(1-i+i-i²)z + (2-i-6i+3i²)z = 9-9i-i+i²-12+6i-4i+2i²

Désolé :we:

z = -6/(1-7i)
Je remplace donc z par -6/(1-7i) dans la seconde équation?

C'est mieux de ne pas avoir de "i" au dénominateur quand même, ça fait plus propre.

[benjinight]

Je te remercie beaucoup de ton aide :we:

(1-i+i-i²)z + (2-i-6i+3i²)z =9-9i-i+i²-12+6i-4i+2i²
(1-i²)z + (2-7i+3i²)z = 9-12-9i-i+6i-4i+i²+2i²
(1+1)z + (2-7i-3)z = -3-8i+3i²
2z + (-1-7i)z = -3-8i+(3*(-1))
(1-7i)z = -6+8i

est-ce bon?
donc sa fais z= (-6+8i)/(1-7i)
(-6+i) * (1+7i) = -6-42i+i+7i² = -6-41i+7*(-1) = -6-7-41i = -13-41i
(1-7i) * (1+7i) = 1²-2*1*7i+7i = 1-14i+7i = 1-7i

Donc z = (-13-41i)/(1-7i)
Donc la je peut remplacé?

[Monsieur23]

(1-7i) * (1+7i) = 1²-2*1*7i+7i = 1-14i+7i = 1-7i

Là, déjà c'est pas bon.
(1-7i) * (1+7i) = 1² - (7i)² = 1 + 49 = 50 ( avec l'identité remarquable (a+b)(a-b) )

(-6+i) * (1+7i)

Tu as oublié le 8 ici !

T'en fais pas, tu vas finir par réussir !

[benjinight]

Pfiouu XD

donc
(-6+8i) * (1+7i) = -6-42i+8i+56i² =-6-36i+56*(-1) = -6-36i -56 = -62-36i!!
(1-7i) * (1+7i) = 1² - (7i)² = 1 + 49 = 50

donc z = (-62-36i)/50

(1+i)z + (2-i) z' = 9-i
(1+i)[(-62-36i)/50]+(2-i)z'=9-i
(-62-36i-62i-36i²)/50+(2-i)z'=9-i
(-62-98i-36*(-1))/50+(2-i)z'=9-i
(-62-98i+36)/50+(2-i)z'=9-i
(-46-98i)/50+(2-i)=9-i
(2-i)z'=(9-i)/[(-46-98i)/50]

Est ce toujours bon?

[Monsieur23]

2z + (-1-7i)z = -3-8i+(3*(-1))
(1-7i)z = -6+8i

Perdu, c'était un -8 !

Rho j'suis content, j'ai trouvé quelqu'un d'aussi mauvais que moi en calcul !

( Désolé de pas TOUT corriger au fur et à mesure, mais c'est vraiment pas facile à lire toutes ces lignes de calcul )

[benjinight]

bouh jsuis une quiche <<

(-6-8i) * (1+7i) = -6-42i-8i-56i² =-6-50i-56*(-1) = -6-50i+56 = 62-50i!!
(1-7i) * (1+7i) = 1² - (7i)² = 1 + 49 = 50

donc z = (62-50i)/50 =(62/50)-i

est ce que z est bon? ^^

[Monsieur23]

-6-50i+56 = 62-50i!!

56 - 6 = 62 ?

Allez, après avoir corrigé cette erreur, ton z est bon ! :lol4:

[benjinight]

putin j'suis une m**de ><


(-6-8i) * (1+7i) = -6-42i-8i-56i² =-6-50i-56*(-1) = -6-50i+56 = 50-50i!!
(1-7i) * (1+7i) = 1² - (7i)² = 1 + 49 = 50

z = (50-50i)/50
z = 1-i !! EUREKA? ^^

Je remplace donc!
(1+i)z + (2-i) z' = 9-i
(1+i)(1-i)+(2-i)z'= 9-i
(1-i)²+(2-i)z'= 9-i
1²-i²+(2-i)z'= 9-i
1+1+(2-i)z'= 9-i
2+(2-i)z'= 9-i
(2-i)z'= 9-2-i
z'=(7-i)/(2-i)

(7-i)*(2+i)=14+7i-2i-i²=14+5i-(-1)=15+5i
(2-i)*(2+i)=(2-i)²=4-i²=4-(-1)=5

z'=(15+5i)/5 = 3+i !!!!

donc z=1-i et z'=3+i
Est ce boooooooooN? :) :ptdr:

[Monsieur23]

Yes ! You got the power !

Sérieusement, c'est important de savoir calculer rapidement sans erreur, il faudrait que tu t'entraînes un peu ! :happy2:

En plus, il faut savoir que les exercices que ton prof te donne sont "trafiqués".
La réponse ne peut pas être complètement tordue comme ce que tu proposais au début ( ou alors, tu est tombé sur un prof sadique ).