Résolution d'une inéquation ln,exp

par **destroyer82** » 23 Avr 2006, 16:15

Bonjours à vous tous.

J'ai un petit soucis avec une le sens de variation d'une fonction, je vous expose mon travail et la ou je bloque
f(x)= exp(-X)ln(exp(X) +1)

_Je trouve la dérivée de f
f'(x) = exp(-X)[exp(X)/(1+exp(X)) - ln(exp(-X)+1)]
(je ne pense pas m'être tromper à ce niveau, non?)

_Je cherche ensuite le sens de variation de f'(x).
exp(-X)>0
donc f'(X)<0 eq à exp(X)/(1+exp(X)) - ln(exp(-X)+1)<0

Et voici mon problème, je ne parviens pas à résoudre cette inéquation, correctement...

Si vous avez une solution, merci de me l'explicité.

par **Zebulon** » 23 Avr 2006, 16:40

Bonjour,
en développant, on trouve

donc

Or,

... et je te laisse finir.
Zeb.

par **destroyer82** » 23 Avr 2006, 16:57

j'y était arrivé tout seul à ce niveu :
ln(e(x)+1)< e(x)/(1+e(x))
c'est la que je bloque, je ne comprend pas que faire de "ln(1+e(x))<1+e(x)"

par **Zebulon** » 23 Avr 2006, 17:04

On a:

.
Je te laisse justifier chaque inégalité.
Zeb.

par **destroyer82** » 23 Avr 2006, 17:18

( on travaille sur R)
je ne suis pas d'accord:
_sur " 1/(e(x)+1)_sur " e(x)+1<1/(e(x)+1)" ( prend la valeur x=1 est l'inégalité est fausse)
( on travaille sur R)

mais je suis bien d'accord sur le fait que ln(e(x)+1)< e(x)/(1+e(x))
d'ailleur je ne comprend pas ton explication aussi
mais je te remercie quand même pour tout

par **Daragon geoffrey** » 23 Avr 2006, 23:14

slt
j'te donne une solution un peu barbare mais efficace :
à partir de l'inégalité de zeb : cad ln(e^x +1) inf à e^x +1 équiv à e^x + 1 inf à e^((e^x)+1) on pose G(x)=e^x + 1 -e^((e^x)+1) de dérivée e^x(1-e^e^x) donc négative pour tt x de R équiv à G décroissante sur R de plus lim G=1-e qui est négatif donc pour tt x de R G(x) négative donc e^x+1-e^((e^x)+1) négatif équiv à ... et tu remontes jusqu'à l'inégalité que tu voulais démontrer ! rq : tu peux ossi considérer l'expression ln(e^x + 1) -e^x -1 sans composer immédiatement par la fct expo !

par **Daragon geoffrey** » 23 Avr 2006, 23:16

o fait une dernière chose je ne sui pa d'accor avec la fct dérivée que tu obtients ! mé bon peut être que je me trompe ...

par **destroyer82** » 24 Avr 2006, 22:57

Merci pour ta solution

Propose ce que tu obtient comme dérivée, l'erreur peut venir de ma part.

par **Daragon geoffrey** » 25 Avr 2006, 08:49

perso j'obtients : f'=[e^x-(e^x + 1)(ln(e^x + 1))]/(e^x (e^x + 1)) voilà @ +

par **destroyer82** » 25 Avr 2006, 13:20

Je ne suis pas d'accord:
f(x)= exp(-X)ln(exp(X) +1)
f=uv
u:x==> exp(-x) et V:x==>ln(exp(x)+1)
u':x==>-exp(-x) et V':x==> exp(x)/(exp(x)+1)
or f'=u'v +v'u
donc f'(x)= -exp(-x)ln(exp(x)+1) +[exp(x)/(exp(x)+1)]exp(-x)
f'(x)= exp(-x)[ exp(x)/(exp(x+1) - ln(exp(x)+1)]

quelqu'un peut confirmer?

par **Daragon geoffrey** » 25 Avr 2006, 16:08

en effet c'est la bonne forme que tu as ossi mais qui n'est pas complètement simplifiée ! n'oublie pas que e^(-x)=1/e^(x) et tu peut ossi réduire o même dénom ds la parenthèse ! @ +

Résolution d'une inéquation ln,exp

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