Relation de Chasles

[Rijan]

Bonjour !

Je viens vous exposer un petit souci qui ne devrait pas être long à régler. Actuellement, je révise mon chapitre sur les vecteurs et il me manque une chose, qui n'est compris que partiellement, c'est cette relation de Chasles, ou du moins, il y a des égalités où je coince beaucoup. Tous les exemples que j'ai vu était du genre AC = AB + BC.
Alors que moi, j'aimerai par exemple savoir comment déboucher sur les bons résultats des égalités suivantes (où le but est de montrer qu'ils sont colinéaires):

1. 3 vecAD + vecCB = 2 vecAC
2. vecAC - 2 vecCB = 3 vecBD - 3 vecAB

Je vais vous montrer ce que j'ai produit pour le 1 uniquement, de manière à vérifier par moi même le 2 ensuite. Donc:

1. 3 vecAD + vecCB = 2 vecAC
3 vecAD + vecCD + vecAB = 2 vecAC
3 vecAD + vecCA + vecAB = 2 vecAD + 2 vecCD
vecAD + vecCA + vecAB = 2 vecCD
vecAC + vecCD + vecAB = 2 vecCD
vecAD + vecAB = 2 vecCD
vecAB = 2 vecCD + vecDA
vecAB = vecCD + vecCA

Et là, je coince, en sachant que le corrigé du livre me donne pour résultat vecAB = -3 vecCD, j'ai du vraiment me planter quelque part.

[titine]

Il y a un problème dans ton truc ...
Tu veux démontrer une égalité qui est fausse !
En général 3 vecAD + vecCB n'est pas égal à 2 vecAC.
Un simple dessin te permettra de le constater.

[Rijan]

Si elle est fausse, pourquoi le corrigé de mon bouquin m'indique que la réponse est -3 vecCD ? Le dessin me semblait étrange à faire, oui, mais j'imagine que si mon livre de cours m'indique une solution, c'est que je peux en trouver une, non ?

[titine]

Je ne comprends pas bien ... Quelles sont les hypothèses ? Que veut on démontrer ?

[titine]

Ah, je crois que je commence à comprendre ...

On sait que 3 vecAD + vecCB = 2 vecAC et que vecAC - 2 vecCB = 3 vecBD - 3 vecAB
Et on veut démontrer que 2 vecteurs sont colinéaires ? Lesquels ?

C'est ça ?

[Rijan]

Je vais reformuler. On doit montrer que ça: "3 vecAD + vecCB = 2 vecAC", est colinéaire.
La solution est vecAB = -3 vecCD. Mon souci a moi, est d'arriver à cette solution.
C'est plus compréhensible maintenant ?

[titine]

Je vais reformuler. On doit montrer que ça: "3 vecAD + vecCB = 2 vecAC", est colinéaire.

Ceci n'a aucun sens.
Un vecteur n'est pas colinéaire tout seul.
2 vecteurs sont colinéaires entre eux.
C'est comme si tu disais "la droite D est parallèle". Ça ne veut rien dire. La doite D est parallèle à la droite ...

Donne moi précisément et complétement l'énoncé de ton exercice.

[Rijan]

Ok ok.

La consigne est: "Démontrer que les vecteurs AB et CD sont colinéaires".
L'expression que je veux travailler correspond au petit b de l'exercice, c'est à dire "3 vecAD + vecCB = 2 vecAC".

[titine]

Ok ok.

La consigne est: "Démontrer que les vecteurs AB et CD sont colinéaires".

Que sais tu des points A, B, C et D ?

Donne moi précisément et complétement l'énoncé de ton exercice.

[Rijan]

Euh il est complet en fait. La consigne, c'est juste ça. ^^'
C'est juste une application de cours, du coup, la consigne se résume à ça. Avec 5 expressions différentes, toutes indépendantes où je dois montrer que les vecteurs AB et CD sont colinéaires, et je voulais que vous m'aidiez pour une expression en particulier. Cependant, j'ai pu me débrouiller de mon côté:
3AD+CB=2AC
3AD+CB-2AC=0
3(AC+CD)+CB-2AC=0
3AC+3CD+CB-2AC=0
AC+3CD+CB=0
AC+CB=-3CD
AB=-3CD

J'obtiens le même résultat que le corrigé du livre. Merci quand même.

[titine]

Ah ! D'accord j'ai compris !
Tu veux démontrer que si on a .........................(l'égalité donnée) alors les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

Bon, ce que tu as fait est juste.
T'en sors tu pour les autres ?

[Rijan]

Je pense que oui mais j'aimerai une petite précision.
(Bien prendre en compte que je ne travaille qu'avec des vecteurs)
La seconde expression qui est présente au premier poste:
AC - 2 BC = 3 BD - 3 AB

Mon développement donne:

AC - 2 CB = 3 BD - 3 AB
AC - 2 BC - 3 BD + 3 AB = 0
AC - 2BC - 3BD + 3AC + 3CB = 0
AC - 3BD + 3AC + CB = 0
AC - 3BA - 3AD + 3AC + CB = 0
- 3BA - 3AD + 3AC + CD = 0
3AB + 3DA + 3AC + CD = 0
3AB + 3DC + CD = 0
3AB + 3DC - DC = 0
3AB + 2DC = 0
3AB = 2 CD
AB = 3/2 CD

Ce que j'aimerai comprendre, c'est pourquoi on a 3/2 et non 2/3 ?

[titine]

Je pense que oui mais j'aimerai une petite précision.
(Bien prendre en compte que je ne travaille qu'avec des vecteurs)
La seconde expression qui est présente au premier poste:
AC - 2 BC = 3 BD - 3 AB

Mon développement donne:

AC - 2 CB = 3 BD - 3 AB
AC - 2 BC - 3 BD + 3 AB = 0
AC - 2BC - 3BD + 3AC + 3CB = 0
AC - 3BD + 3AC + CB = 0

Non.
-2BC = 2CB
et 2CB + 3CB = 5CB

[titine]

AC - 3BA - 3AD + 3AC + CB = 0
- 3BA - 3AD + 3AC + CD = 0

Pourquoi CB devient il CD ?

[Rijan]

Au niveau du résultat, la solution que vous trouvez est de AB = 3/2 CD ou autre chose ? Que je sache où me positionner.
Ensuite, vu que - 2BC c'est un peu comme faire le sens "retour" de CB, c'est pour ça que je l'ai soustrais telle quelle. De plus, c'est la seule méthode que je connaisse me permettant d'arriver aux résultats voulus.
Par contre, mon CB ne devient surement pas un CD ! C'était un erreur de frappe quand j'ai fais le calcul sur le poste, et j'ai continué avec ce que je faisais. Donc, en reprenant à partir de l'erreur:

AC - 3BA - 3AD + 3AC + CB = 0
AB - 3BA - 3AD + 3AC = 0
- 2BA - 3AD + 3AC = 0
2AB + 3 DA + 3AC = 0
2AB + 3 DC = 0
2AB = 3CD
AB = 3/2 CD

[titine]

CB = -BC
-2BC = 2CB
AC - 2BC = AC + 2CB

[Rijan]

Moui mais là, ma solution correspond à celle indiqué dans les corrigés, donc, où voulez-vous en venir ? Et je ne vois que cette méthode.