Récurrence

[alo]

Bonsoir , voila j'ai un petit souci sur un exercice de récurrence.
Soit U(0)=5 et U(n+1)=2-e(-u(n)) C'est une exponentielle.

Je dois montrer par récurrence que la suite est décroissante , soit selon moi que U(n) > U(n+1).

J'ai fais l'initialisations avec n=0 ; ca marche sans problème.
Je suppose que U(n) vraie et je montre que U(n+1) le sera de même.

Je pars de l'hypothèse de récurrence , soit U(n+1)2-e(-u(n))<2-e(-u(n-1)) voila ce que j'ai fait mais je ne vois pas trop comment finir les raisonnements par récurrence.

[romscau]

pour montrer l'héridité de ta recurrence tu dois prouver que
Un+2 inferieur à Un+1

pour cela tu dis que Un+2 = 2 - e(-U(n+1))
et tu utilise le fait que Un inferieur a Un+1 (l'hypothése de récurrence)
donc e(-(Un+1)) supérieur à e(-Un)
(si ce n'est pas evident fait pas a pas)

donc Un+2 inférieur à 2- e(-U(n)) = Un+1
donc Un+2 inférieur à Un+1

comprit?

[alo]

Merci déja , mais pourquoi Un < U(n+1) , j'aurai plutot dit Un > U(n+1) vu que c'est décroissant . :doh:

[romscau]

oui c une faute dans mon corrigé au lieu de supérieur jai mit inferieur
mais c juste de dire que 2 - e(-u(n)) superieur a 2 - e(-U(n+1))
est ce que tu le vois ?

[alo]

C'est logique mais il faut le prouver par un calcul non ? :we:

[alo]

Ah bah je crois qu'en partant de e(-Un+1)
On fait multiplisé par (-1) et on ajoute 2 de chaque coté mais cela va changer le signe inférieur en supérieur .

[romscau]

oui il faut leprouver par calcul
tu as Un supérieur a Un+1 (hypothése de récurrence)
-Un inferieur a -Un+1
e(-un) inferieur a e(-Un+1)
-e(-un) superieur a -e(-Un+1°
ET DONC 2- e(-Un) supérieur a 2 - e(-Un+1)
Un+1 supérieur a Un +2

vrai au rand n+1

bon courage

[alo]

D'accord merci bien , donc si je comprend bien pour réussir un raisonnement par récurrence , il faut partir de l'hypothèse de récurrence , faire des calculs pour retrouver ce qu'on doit prouver. J'ai toujours eu du mal avec la récurrence , donc la c'est pas évident vu qu'on vient de commencer les exponentielles. :we: