Récurrence

par **spitfire378** » 23 Nov 2006, 22:28

Bonsoir

Comment démontrer au rang n+1 que

5^(n+2) >ou= 4^(n+2)+3^(n+2)

Merci pour votre aide :we:

par **Ossian** » 23 Nov 2006, 22:50

spitfire378 a écrit:Bonsoir

Comment démontrer au rang n+1 que

5^(n+2) >ou= 4^(n+2)+3^(n+2)

Merci pour votre aide :we:

La question n'est pas claire!
Quelle est la propriété à démontrer?

par **spitfire378** » 23 Nov 2006, 23:08

Bonsoir Ossian

Il s'agit de démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

5^(n+2) >ou= 4^(n+2)+3^(n+2)

D'autre part je possède pour tout entier naturel n, n+1=(5Un-1)/(Un+3)

Il s'agit de démontrer que, pour tout n N, Un (1;2) mais je ne sais pas comment faire je peux bien dire que Un différent de -3 mais après...

Il est demandé d'établir que Un+1-Un=-(Un+1)^2/Un+3
pas de problème j'y arrive.

En déduire le sens de variation de u : j'en déduis que u est décroissante sur (1;2)

Et enfin il faut démontrer que u converge et déterminer sa limite l.

Pouvez vous m'aider? Merci encore :zen:

par **Ossian** » 23 Nov 2006, 23:28

rapidement: on sait que 5²=4²+3², d'où: 5^(n+2)=5^n x 4² + 5^n x 3²
et comme 5^n > 4^n et 5^n > 3^n
on peut conclure

par **Ossian** » 23 Nov 2006, 23:36

spitfire378 a écrit:Bonsoir Ossian

Il s'agit de démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

5^(n+2) >ou= 4^(n+2)+3^(n+2)

D'autre part je possède pour tout entier naturel n, n+1=(5Un-1)/(Un+3)

Il s'agit de démontrer que, pour tout n N, Un (1;2) mais je ne sais pas comment faire je peux bien dire que Un différent de -3 mais après...

Il est demandé d'établir que Un+1-Un=-(Un+1)^2/Un+3
pas de problème j'y arrive.

En déduire le sens de variation de u : j'en déduis que u est décroissante sur (1;2)

Et enfin il faut démontrer que u converge et déterminer sa limite l.

Pouvez vous m'aider? Merci encore :zen:

l'étude du sens de variation de la fonction f(x)=(5x-1)/(x+3)
permet d'établir que si 1<x<2 alors f(1)<f(x)<f(2) et comme f(1)=1 et f(2)=9/5 on trouve bien 1<f(x)<2.

On applique ça à Un pour obtenir l'encadrement de Un+1 ce qui est utile dans un raisonnement par récurrence...

et pour finir, suite décroissanr bornée, ça ne te dis rien?

par **spitfire378** » 24 Nov 2006, 12:08

Désolé mais je ne vois pas du tout pour la convergence.

Un est strictement décroissante et minorée par 1 c'est ca?

par **spitfire378** » 24 Nov 2006, 12:21

Comme u est strictement décroissante et minorée par 1 c'est une suite convergente vers une limite l tel que 1
Et pour la limite je dois faire un encadrement?

par **Ossian** » 24 Nov 2006, 18:33

f est une fonction continue sur [1;2],
donc si Un tend vers L alors, f(Un) tend vers f(L)
et comme Un+1=f(Un) .....

conclure pour trouver L

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