Récurrence

[youkef-sne]

Salut;

Je dois faire un raisonnent par récurrence pour prouver la propriété suivante:
Soit (Un) la suite definie pour tout n>=1 par:
Un=Rcinecarré[ 1 + (1/(n^2)) + (1/((n+1)^2)) ]
Demontrer par recurrence que Un = 1 + (1/(n(n+1))

Pour l'initialisation, il suffit de prendre pour n=1 et on obtient 9/4.
Ok mais pour l'heredité, je suppose que.pour tout reel k>= 1, la propriété reste vrai mais pour la montrer au rang k+1, je ne vois ps coment faire

[siger]

Bonjour

U(n+1) = 1+1/((n+1)(n+2))
Un = 1 +1/(n(n+1))

d'ou 1/(n+1) = [U(n+1)-1]*(n+2) = [(Un-1)*n]
si Un-1 = 1/(n(n+1)) on obtient
U(n+1)=.......

[youkef-sne]

Bonjour

U(n+1) = 1+1/((n+1)(n+2))
Un = 1 +1/(n(n+1))

d'ou 1/(n+1) = [U(n+1)-1]*(n+2) = [(Un-1)*n]
si Un-1 = 1/(n(n+1)) on obtient
U(n+1)=.....

Et la racine carré on en fais quoi ?

[youkef-sne]

Si c'est bon j'ai trouvé :D merci

[youkef-sne]

Mais dans la suite de l'exercice, on me demande de calculer la somme de U0 +U(1) + U(2) +... +U(2011).
Etant donné que ce n'est nis une suite geometrique, ni une suite arithmetique, je ne vois pas comment faire

[siger]

Re

c'est vrai!

cependant on a U(n) = 1 +1/(n(n+1))
qui peut s'ecrire
U(n) = 1+ 1/n -1(n+1) (c'est une astuce qu'il vaut mieux connaitre !)
d'ou
S(n) = n + Somme (1,n)[1/n]-Somme(1,n)[1/(n+1)]
les deux sommes se simplifient
.........

[youkef-sne]

Re

c'est vrai!

cependant on a U(n) = 1 +1/(n(n+1))
qui peut s'ecrire
U(n) = 1+ 1/n -1(n+1) (c'est une astuce qu'il vaut mieux connaitre !)
d'ou
S(n) = n + Somme (1,n)[1/n]-Somme(1,n)[1/(n+1)]
les deux sommes se simplifient
.........

En effet oui j"n'y avais pas pensé mais dans ce cas la c'est pas plutot:
S(n) = 1 + Somme(1,n)[1/n] - Somme(1,n)[Somme[1/(n+1)]

[siger]

Re

non
a chaque valeur de n on ajoute 1
S(n) = (1+1/1-1/2)+(1+1/2-1/3)(1+1/3-1/4)+.......

[youkef-sne]

Re

non
a chaque valeur de n on ajoute 1
S(n) = (1+1/1-1/2)+(1+1/2-1/3)(1+1/3-1/4)+.......

Ok d'accord mais est-ce qu'il n'existerait pas une formule general ppir la somme des inverses ?

[siger]

RE

Pourquoi faire?
Est-ce que tu refais les calculs que l'on t'indique ?

S(n) = 1+1/2-1/3+1+1/3-1/4+1+1/4-1/5+1+.....
Les termes en gras s'eliminent et il ne reste que ......

[youkef-sne]

RE

Pourquoi faire?
Est-ce que tu refais les calculs que l'on t'indique ?

S(n) = 1+1/2-1/3+1+1/3-1/4+1+1/4-1/5+1+.....
Les termes en gras s'eliminent et il ne reste que ......

Om em deduit donc que Sn= n+1-(1/(n+1))
D'ou, S(2011) = 2011+1-(1/2012)

[siger]

Re

attention le premier terme 1/2 subsiste.......