Récurrence

[youkef-sne]

Salut, pouvez vous me dire si il est juste :
Soit (Un) la suite défini sur N par Un = 5 n^2 - 4n
(Un) est strictement croissante sur N si et seulement si U(n+1>Un pour tout n appartenant a N. Démontrons le par récurrence :
Initialisation: U(0) = 5*0^2 - 4*0 = 0 et U(1) = 5*1^2 - 4*1 = 1. On a :
U(1) > U(0) donc la propriété est initialisé
Hérédité: Supposons la propriété U(p+1)>U(p) vrai pour un certain rang p.
Démontrons que la propriété est héréditaire, c'est a dire qu'elle est vrai au rang p+1 :
On a U(p+1) = 10n + 1 et l'hypothèse de récurrence nous dis que
U(p+1)>U(p) D'ou 10*U(p+1)>10*U(p)
D'ou 10*U(p+1) + 1 > 10 * U(p) + 1 Donc U(p+2) > U(p+1), et par conséquent, la propriété est vrai au rang p+1
Conclusion: La propriété est initialiée au rang 0, et si la propriété est vrai au rang p, alors elle est vrai au rang p+1 et donc elle est . . héréditaire. En conclusion, la propriété est vrai pour tout n appartenant a N, et Un est strictement croissante.

C'est juste ou pas ?

[youkef-sne]

Super l'aide mais c'est pas grave je vais me débrouiller merci quand même !

[Ericovitchi]

je n'ai pas compris ton U(p+1) = 10n + 1 (ou même 10p+1)
U(p+1)=5 (p+1)^2 - 4(p+1) = 5p²+6p+1

En fait c'est U(p+1)-U(p) qui vaut 10p+1

[paquito]

Ce qui est bizarre,, c'est que la récurrence est inutile; on a directement U(n+1)-Un=10n+1> pour tout n>=0. On pourrait aussi utiliser les variations de f(x) pour x>0. (f(x)=5x²-4x)

[Ericovitchi]

oui effectivement, il faut être un peu maso pour voir le démontrer par récurrence. Cela dit, ça reste possible.

[youkef-sne]

Ah oui en effet U(n+1) - U(n) = 10n + 1 > 0
Merci