Récurrence

par **Mathx** » 05 Juil 2010, 16:51

Salut tout le monde

Vous pouvez m'aider à terminer ce raisonnement par récurrence svp ??
Il faut démontrer :

Alors au rang n=0, on a bien : 0(0²-1)=0=3x0
Supposons que pour un entier

, on a n(n^2-1)=3k.
Montrons que : (n+1)[(n+1)²-1]=3k
Déjà, j'ai trouvé que : (n+1)[(n+1)²-1] = n(n+1)(n+2)
Dois-exprimer n et n+1 en fonction de 3k avec l'hypothèse de récurrence ?
Merci :we:

par **Olympus** » 05 Juil 2010, 16:55

Développe (n+1)(n+2) et magie ...

par **Ben314** » 05 Juil 2010, 16:58

Il faut aussi bien comprendre que, si tu suppose que n(n^2-1)=3k alors il faut montrer que (n+1)[(n+1)²-1]=3k' : il serait plus que surprenant que ce soit "le même k" pour n et n+1 !

par **Mathx** » 05 Juil 2010, 17:04

Comment ça magie :cry: je trouve n²+3n+2

par **Mathx** » 05 Juil 2010, 17:15

? stp ! :cry:

par **Olympus** » 05 Juil 2010, 17:19

n+2=n-1+3

Conclusion ...

par **Mathx** » 05 Juil 2010, 17:21

bah (n+1)[(n-1)+3]=n²-1+3(n+1)

par **Olympus** » 05 Juil 2010, 17:22

Petite faute de frappe, je voulais dire :

.

par **Mathx** » 05 Juil 2010, 17:23

Ah
dc on a 3k'+3(n+1)n

par **Mathx** » 05 Juil 2010, 17:24

Olympus a écrit:Petite faute de frappe, je voulais dire : .

Hein ? Ca sert à quoi ?
On a n +2 pas n²+2

par **Olympus** » 05 Juil 2010, 17:28

Après avoir développé (n+1)(n+2), si .

Ben, soit tu fais comme ceci :

Ou alors :

par **Mathx** » 05 Juil 2010, 17:35

ok ;)
Et après donc n(n²-1)=3k
donc
n(n²-1)+3n(n+1)=3k+3n(n+1)=3(k+n(n+1))
et c bon ?

par **Mathx** » 05 Juil 2010, 18:02

?? C'est bon ?

par **Ben314** » 05 Juil 2010, 18:20

Oui, c'est O.K.

Si ça t'ammuse, il y a aussi une méthode directe pour montrer le résultat sans passer par une réccurence.
Saurait tu la trouver ?

par **benekire2** » 05 Juil 2010, 19:55

Comme le dit ben , on se fait bien chi** avec cette méthode ... Cela revient a montrer que le produit de trois nombres entiers consécutifs est divisible par 3 ... et je n'en dit pas plus :zen:

La "soluce" :
Un nombre entier s'écrit 3k ou 3k+1 ou 3k+2 pour un certain entier k , ici ce sont trois nombres consécutifs ... leur produit contient un 3k i.e un entier divisible par trois i.e tout le produit est divisible par 3 ....

par **Olympus** » 05 Juil 2010, 20:29

Encore plus direct et en une seule ligne : penser aux coefficients binomiaux .

par **Olympus** » 05 Juil 2010, 20:36

En remarquant que

, on trouve un résultat plus fort, le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6

Pour généraliser, le produit de

nombres consécutifs est divisible par

.

par **Ben314** » 05 Juil 2010, 22:33

O.K., mais quelque part, ça sent un peu l'arnaque : comment définit tu les coefficients binomiaux ?
Et si tu me répond "je pose

" alors je pose évidement comme deuxième question : comment montre tu que ce sont des entiers ?

par **Olympus** » 05 Juil 2010, 22:41

Roo BenPi qui me gâche tout :cry:

Effectivement, cela dépend si on admet ou pas que le coefficient binomial est un entier .

par **benekire2** » 06 Juil 2010, 07:06

Sinon, tu peut évidemment montrer en une ligne de plus que c'est divisible par 6 et par 12 si n est impair ...

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