Récurrence fonctions cosinus et sinus hyperboliques

[JulienDTF]

Bonjour,
J'aurai besoin d'aide svp pour un exercice de récurrence sur le cosinus et sinus hyperboliques. Il faut démontrer par récurrence que si l'on dérive un nombre pair de fois ch, on retombe sur ch, et si on dérive un nombre impair de fois ch, on trouve sh.

Sujet :

On note sh(x) = ch′(x) pour tout x ∈ R. La fonction sh est appelée sinus hyperbolique.
On note ch′ la première dérivée de la fonction ch, ch′′ sa deuxième dérivée et pour tout n ∈ N tel que n ≥ 3, ch(n) la n-ième dérivée de la fonction ch.
Montrer par récurrence que :
i. si n est impair, alors ch^(n) (x) = sh(x),
ii. si n est pair, alors ch^(n) (x) = ch(x).

J'ai réussi les initialisations mais je bloque pour les hérédités.
J’ai compris que si n est pair il existe un entier k tel que n = 2k, et si n est impair il existe un entier k tel que n = 2k+1.
Il faut donc démontrer que
ch^(2k+1) (x) = sh(x) et ch^(2k) (x) = ch(x)
Merci.

[catamat]

Il faut donc démontrer que
ch^(2k+1) (x) = sh(x) et ch^(2k) (x) = ch(x)

Bonjour
Enfin c'est seulement l'hérédité qu'il faut démontrer puisque vous avez initialisé.

Donc on suppose
et on doit démontrer que ou encore


Cela revient à dériver deux fois qui par hypothèse de récurrence est égal à ch... pas très dur de voir que l'on retrouve ch.

Même principe pour le cas impair

[vam]

Bonjour

un peu gonflé JulienDTF
https://www.ilemaths.net/sujet-recurrence-fonction-cosinus-et-sinus-hyperbolique-876051.html
tu veux quoi, qu'on t'écrive tout ou qu'on envoie la copie directement à ton prof ?

[JulienDTF]

Bonjour
Je m’excuse je pensais que l’on avait le droit de demander de l’aide pour un même exercice sur deux forums.

Alors j’ai fait l’hérédité en m’appuyant sur vos indications et je voudrais savoir du coup si c’est bon ou pas svp

Soit P(k) : ch^(2k) (x) = ch(x) avec k entier naturel (hypothèse de récurrence)
Soit P(k+1) : ch^(2k+2) (x) = ch(x) avec k entier naturel (objectif)

On pose :
ch^(2k) (x) = ch(x)
(ch^(2k))'(x) = ch'(x)
ch^(2k+1) (x) = ch'(x)
(ch(2k+1))'(x) = ch''(x)
ch^(2k+2) (x) = ch''(x)

Or ch''(x) = (ex+e-x)/2 = ch(x)
Donc ch^(2k+2)(x) = ch(x)
On a montré l'hérédité, on en déduit donc par récurrence que si n est pair, c'est-à-dire si n = 2k et pour tout n entier naturel tel que n supérieur ou égal à 3, ch^(n) (x) = ch(x)

[vam]

et tu vas continuer à poster comme ça des deux côtés pendant longtemps ?

[JulienDTF]

Non, je voulais juste savoir si ce que j’ai trouvé était bon , et je pensais donc que je pouvais utiliser les 2 forums pour que ce soit plus rapide.

[JulienDTF]

Finalement c’est bon j’ai trouvé je n’ai plus besoin d’aide.
Merci à catamat.