[SPE] Récurrence/DIvisibilité - HELP pour 2 questions -

[Ivanovich]

Hello tout le monde, voila j'ai encore un souci ... en spé cette fois ci :

1) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n , 2^(3n) - 1 est divisible par 7.

2) Déduisez-en que 2^(3n+1) - 2 est un multiple de 7 et que 2^(3n+2) - 4 est un multiple de 7.

3) Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2.

Voila en fait j'ai répondu à la première question, seulement je n'arrive pas à en déduire quoi que ce soit et je ne sais pas trop comment démarrer. Enfin je vous mets ce que j'ai fait à la 1 , il faudrait deja que ca commence par etre juste lol :

On considère la propriété P(n) : 2^(3n) - 1 est divisible par 7.
On vérifie P(1) : 2^3 - 1 = 7 donc divisible par 7. P(1) est vérifié.
On suppose qu'il existe un entier k pour lequel P(n) est vraie :
2^(3n) - 1 = 7k
On démontre ensuite au rang suivant :

P(n+1) = 2^3(n+1) - 1
= 2^(3n + 3) - 1
= 2^(3n) x 2^3 - 1
= P(n) x 8
= 7k x 8
P(n+1) = 8k x 7
or 8k est un entier donc P(n+1) est vraie et pour tout n, 2^(3n) - 1 est divisible par 7.
Voila ou j'en suis mais après ...
Merci :we:

[Ivanovich]

je remonte une fois le topic svp, l'exercice est pour demain mais j'ai vraiment aucune piste pour la suite.

[abcd22]

Bonjour !

P(n+1)= 2^(3n) x 2^3 - 1
= P(n) x 8

Non car , par contre
.

Pour la 2 il suffit de remarquer que , et .
Pour la 3, regarde ce que ça donne pour en utilisant les questions 1 et 2.

[Ivanovich]

Bonjour !

Non car , par contre
.

ah d'accord j'ai compris l'erreur dans mon raisonnement, seulement comment dois-je continuer après cela ? et comment as tu exactement fait pour trouver l'egalité que tu me donnes ?
MErci

Edit : j'ai compris comment tu as trouvé l'egalité mais je vois pas comment poursuivre ^^

[Ivanovich]

c'est bon, il semblerait que j'ai reglé la question 1 et la 2, reste plus que la 3, une petite aide ?

[abcd22]

Tout entier k peut s'écrire sous la forme 3n ou 3n + 1 ou 3n + 2. D'après la question 1, pour tout n, , donc , on fait pareil pour k = 3n + 1 et k = 3n + 2 avec la question 2.