Récurrence avec Un<1/n

[SINGED32]

L'enoncé:Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et par la relation de récurrence : un +1 =f (un ) où f est définie sur R par : f (x )= x −x²

4. Cas : u0 = 0,5.
a. Montrer que pour tout n de N, 0 <un < 0,5.
b. En déduire que (un ) converge
c.Montrer que pour tout n de N*, un<1/n

J'ai deja répondu à ces questions:
a)Pour tout n de N, on va démontrer par récurrence 0<Un<0,5:

Initialisation: On va d'abord voir si les conditions sont réunis au premier rang U0
U0=0,5 or 0<0,5<0,5
Donc U0 est bien compris entre 0 et 0,5 et l'hypothèse est vrai pour n=0

Hérédité: Pour n>0, on veut savoir si 0<Un+1<0,5
On émet donc l'hypothèse 0<Uk<0,5 et entraine 0<Uk+1<0,5
Cependant Uk+1=f(Uk)
Donc f(0)<f(Uk)<f(0,5)
0<Uk+1<0,25
Du coup 0<Uk+1<0,25<0,5
L'hypothèse est validé et 0<Un<0,5 est vraie.

Conclusion: Pour tout n de N, 0<Un<0,5

b)On sait que 0<Un<0,5
D'après le théorème des convergences monotones, si Un est décroissante et minorée alors elle est convergente vers l.
De plus 0<l<0,5

c) et c je trouve pas

[SINGED32]

je trouve pas l'hérédité en gros

[titine]

L'enoncé:Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et par la relation de récurrence : un +1 =f (un ) où f est définie sur R par : f (x )= x −x²

4. Cas : u0 = 0,5.
a. Montrer que pour tout n de N, 0 <un < 0,5.
b. En déduire que (un ) converge
c.Montrer que pour tout n de N*, un<1/n

J'ai deja répondu à ces questions:
a)Pour tout n de N, on va démontrer par récurrence 0<Un<0,5:

Initialisation: On va d'abord voir si les conditions sont réunis au premier rang U0
U0=0,5 or 0<0,5<0,5
Donc U0 est bien compris entre 0 et 0,5 et l'hypothèse est vrai pour n=0

Hérédité: Pour n>0, on veut savoir si 0<Un+1<0,5
On émet donc l'hypothèse 0<Uk<0,5 et entraine 0<Uk+1<0,5
Cependant Uk+1=f(Uk)
Donc f(0)<f(Uk)<f(0,5)
A condition que f soit croissante. L'as tu démontré ?
0<Uk+1<0,25
Du coup 0<Uk+1<0,25<0,5
L'hypothèse est validé et 0<Un<0,5 est vraie.

Conclusion: Pour tout n de N, 0<Un<0,5

b)On sait que 0<Un<0,5
D'après le théorème des convergences monotones, si Un est décroissante et minorée alors elle est convergente vers l.
D'accord, mais as tu prouvé que ta suite est décroissante ?
De plus 0<l<0,5

c) et c je trouve pas

Pour l'hérédité de c) :
Comme f est croissante sur [0;1/2] et que un appartient à cet intervalle
Si un < 1/n alors f(un) < f(1/n)
On en déduit que u(n+1) < (n-1)/n²
Puis on montre que (n-1)/n² < 1/(n+1) en montrant que (n-1)/n² - 1/(n+1) est toujours négatif.

[SINGED32]

j'ai juste prouvé que Un est décroissante:
Un+1-Un=Un-Un²-Un=-Un²
-Un² étant négatif sur N alors la suite Un est décroissante.

[titine]

Oui c'est ça.

Étudie les variations de f pour savoir si elle est croissante ou décroissante.
Pour cela tu peux utiliser la dérivée ou les résultats connus sur les fonctions polynômes de degré 2.

Si f est croissante sur un intervalle I et si a et b appartiennent à cet intervalle on peut dire :
Si a<b Alors f(a)<f(b)

Si f est décroissante sur un intervalle I et si a et b appartiennent à cet intervalle on peut dire :
Si a<b Alors f(a)>f(b)

[SINGED32]

j'ai étudié les variations de la fonction avec la dérivé:
Pour tout x de R calculons d'abord f'(x)
f'(x)=1-2x
1-2x est positif sur ]-infini;1/2[ et négatif sur ]1/2;+infini[

[SINGED32]

à d'accord je l'avais pas vu sur cet angle merci