Récurrence avec 2^(2^n)

[SINGED32]

Bonjour j'ai une récurrence avec des puissances sur des puissances que je ne comprends pas.
L'énoncé est: Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et par la relation de récurrence : un +1 =f (un ) où f est définie sur R par : f (x )= x −x²

1. Dresser le tableau de variation de f sur R.
2. Déterminer le sens de variation de la suite (un ).
3. Cas : u0 = −2.
a. Montrer, par récurrence, que pour tout n de N, un<-2^(2^n)

J'ai deja fait:
1.croissant sur ]-infini;1/2[ et décroissant sur ]1/2;+infini[
2. Un+1-Un=Un-Un²-Un=-Un²
-Un² étant négatif sur N alors la suite Un est décroissante.
3.a.Pour tout n de N, on va démontrer par récurrence Un<-2^(2^n):

Initialisation: On va d'abord voir si les conditions sont réunis au premier rang U0
U0=-2 or -2^(2^0)=-2^1=-2
Donc U0 est bien inférieur ou égal à -2^(2^n) et l'hypothèse est vrai pour n=0

Et pour l'hérédité je bloque
HELP PLEASE

[GaBuZoMeu]

Tu veux démontrer par récurrence que pour entier on a la propriété :

Tu as correctement fait l'initialisation. Maintenant, l'hérédité consiste à supposer et à essayer d'en déduire :

en utilisant bien sûr la relation de récurrence

J'ai essayé, ça se fait (presque) les doigts dans le nez. À toi de faire !

[SINGED32]

D'accord si j'ai compris il faut passer f(Un) et f(-2^(2^n)) et trouver Un+1<-2^(2^n+1).
Mais quand je fais f(-2^(2^n)) je trouve -6^(2^n)

[GaBuZoMeu]

Tu t'es trompé. Reprends calmement.

Le carré de , c'est .

[SINGED32]

Du coup -2^(2^n)-(-2^(2^n))² = -2^(2^n)-(-2^(2^2n) non ?

[GaBuZoMeu]

Deux fautes :
1) le carré de , ce n'est pas .
2) , ce n'est pas
Reprends ton calcul.

[SINGED32]

C'est où 2*2^n ?

[SINGED32]

et donc oui (-2^(2^n))²=(2^(2^2n)

[GaBuZoMeu]

La première erreur est corrigée, la deuxième reste.

[SINGED32]

Je ne vois pas où est 2*2^n si ca vient (-2^(2^n))² j'ai toujours appris( x^n)^m=x^n*m

[GaBuZoMeu]

Tu l'as appris, très bien mais tu l'appliques mal !
C'est quoi, l'exposant de 2 dans ? Et quand tu élèves au carré, qu'est-ce que ça devient ?

[SINGED32]

c'est 2^n non ?

[GaBuZoMeu]

Exact, l'exposant de 2 est . Maintenant, peux-tu répondre à la deuxième partie de la question : quand tu élèves au carré, qu'est-ce que ça devient ?

[SINGED32]

Ca devient 2^4^n du coup

[GaBuZoMeu]

Là, tu ne réfléchis pas assez et tu réponds n'importe quoi !
Je répète ce que j'ai écrit depuis longtemps : le carré de , c'est .

[SINGED32]

c'est (2^(2^2n) alors si l'exposant est 2^n, (2^n)²=2^2n

[GaBuZoMeu]

Tu devrais faire un control-reset pour repartir sur le bon pied. Là, ça déraille complètement.

Essayons une dernière fois :

Le carré de , c'est . D'accord ?

Bon, alors maintenant appliquons ça à .

Le carré de , c'est

[SINGED32]

On est d'accord que si 2^k au carré fait 2^2k c'est parce que (2^k)² = 2^2*k=2^2k

Ensuite pour k=2^n avec la même méthode 2^2^n au carré c'est (2^2^n)² mais après on a soit 2^2^n*2, soit 2^2*2^n = 2^4^n soit 2^2*2^n*2= 2^4^2n non ?

[GaBuZoMeu]

Je craque !

Puisque le carré de est , quand on prend on a que le carré de est .

[SINGED32]

A oui du coup c'est bien 2^2*2^n mais j'avoue j'ai pas penser à développer vu que j'étais pas sûr de la réponse.