Rectangle dans un demi-cercle

[Clemo]

Bonjour à tous, je n'arrive pas à faire cet exercice:

On considère un segment [AB] de longueur 6, de milieu O. On trace un demi-cercle de diamètre [AB]. M est un point variable sur [OA] et on appelle x la distance OM. On trace le rectangle MNPQ avec N et P sur le demi-cercle et Q le symétrique de M par rapport à O.

1. Faire une figure en utilisant un logiciel de géométrie dynamique.
2. Représenter la fonction donnant l'aire du rectancle en fonction de x.
3. Conjectuer l'aire maximale du rectangle et la valeur de x correspondant.
4. Quel est l'intervalle de variation de x ?
5. Exprimer le côté MN puis l'aire du rectangle en fonction de x.
6. Démontrer votre conjecture, en montrant que le problème revient à résoudre l'inéquation: 4x²-36x²+81;) 0
7. On veut que l'aire du rectangle soit égale à la moitié de celle du demi-cercle. Conjecturer la ou les valeurs répondant au problème.
8.Montrer que ce dernier problème revient à résoudre 4x4-36x²+81/16;)²=0
Démonter votre conjecture.

J'ai juste reussi à faire la figure sur le logiciel mais après je ne comprend rien, je pense que c'est aussi un problème de français... Pouvez-vous m'aider?

[mathelot]

bonjour,

indications

si désigne la hauteur du rectangle, une relation de Pythagore lie et

on risque d'avoir à maximiser une fonction du style



de deux choses , l'une

- ou, tu connais les dérivées

- ou, tu maximises le carré de
(vû que est croissante strictement et continue sur R+

)

le carré de S(x), , étant un trinome de la variable

[WillyCagnes]

bjr

regarde bien ta figure

aire MNPQ= MNxMQ
avec ON= Rayon du cercle ON=AB/2 =3

MN=? theorème Pythagore MN²=ON² - MO² =(AB/2)² -x² = 9 -x²
MQ= MO+OQ = x+x =2x (q est le symetrique de M par rapport à O

aire MNPQ=?

[Clemo]

Merci
dsl à Mathelot je comprend pas je me suis appuyé sur la réponse de WillyCagnes

Alors, aire MNPQ= MN x MQ
= ;)MN² X 2x
= 3-x X 2x
= 3-2x²

C'est bien ça?

[WillyCagnes]

hélas non

MN= racine(9-x²)

aire=2x.racine(9-x²)
revise donc ton cours sur les racines carrés

[mathelot]

bon,

l'aire du rectangle est

mémorise que cette aire, nous l'avons appelée A et notée A(x)
car elle est fonction, elle varie avec "x"

comment comptes tu déterminer son maximum ?

[Clemo]

Merci à vous deux

Alors je pense que pour déterminer son maximum, il faut montrer le lien entre:
2x;)9-x² et 4x²-36x²+81

[mathelot]

-----début de l'exemple --------------------------

imagine qu'une quantité U prenne les valeurs positives

3 5 2 7 4

son carré va prendre les valeurs

9 25 4 49 16

Le maximum de U est 7 et le maximum de est 49

--------fin de l'exemple-------------------------------

Comme

cherche le maximum de , c'est plus facile car c'est un trinome de la variable

[Clemo]

Pourquoi le maximum de A est il 7 ?

[mathelot]

j'ai réécrit le dernier post.

[Clemo]

Dsl je ne comprend toujours pas: C'est quoi U?

[mathelot]

Dsl je ne comprend toujours pas: C'est quoi U?

, c'est une quantité qui prend des valeurs.

Il n'y a pas d'"essence" en mathématique, comme on dit en philosophie.

Les objets sont définis par leur propriétés.

[mathelot]

-----début de l'exemple --------------------------

imagine qu'une quantité U prenne les valeurs positives

3 5 2 7 4

son carré va prendre les valeurs

9 25 4 49 16

Le maximum de U est 7 et le maximum de est 49

--------fin de l'exemple-------------------------------

Comme

cherche le maximum de , c'est plus facile car c'est un trinome de la variable

On écrit sous la forme


Le maximum de S(x) (sans carré) vaut donc pour

vérification avec la fonction dérivée






s'annule pour , soit

[Clemo]

Je comprend pas

[mathelot]

si f est positive (par exemple, une aire)

pour le carré, on peut calculer le

puis sup

l'intéret réside dans le fait que est un trinome en
et pour un trinome, on calcule facilement son maximum.


si c'est difficile et que tu connais les fonctions dérivées, alors résoudre