Raisonnement par l'absurde

[nico_lmq]

Bonjour ! :)
Je suis actuellement en stage de rentrée pour me préparer à la terminale S, et je ne parviens pas à résoudre un de mes exos...

Voici l'énoncé : en raisonnant par l'absurde, montrer que -1 <(a^2-b^2)/(a^2+b^2)<1

J'ai trouvé l'identité remarquable au numérateur mais je reste bloqué ...
j'en ai déduis que le dénominateur est forcément positif puis que les termes sont au carré et que c'est une addition
j'ai aussi trouvé par rapport au numérateur que si a>b le signe de l'expression est positif et inversement si a
J'espere que vous parviendrez à me donner des pistes de réflexion , merci d'avance :)

[Shew]

[quote="nico_lmq"]Bonjour !
Je suis actuellement en stage de rentrée pour me préparer à la terminale S, et je ne parviens pas à résoudre un de mes exos...

Voici l'énoncé : en raisonnant par l'absurde, montrer que -1 b le signe de l'expression est positif et inversement si a \frac{a^2 - b^2}{a^2+b^2}[/tex] et et utilisez une disjonction de cas .

[annick]

Bonjour,
raisonner par l'absurde signifie que tu cherches à prouver que le contraire de ce que l'on te demande est impossible.

ici, par exemple, on te demande de prouver que -1 <(a^2-b^2)/(a^2+b^2)

Tu vas donc chercher à démontrer que (a^2-b^2)/(a^2+b^2)<-1 est impossible.

[nico_lmq]

Bonjour Annick !
Merci beaucoup pour votre réponse rapide :)
A partir de votre piste de réflexion, je suis parvenue à<0 et j'ai aussi tenté de démontrer que l'expression est supérieure à 1 et j'ai obtenu b<0 ...

J'ai désormais compris le principe du raisonnement par l'absurde mais les résultats que j'obtiens ne me permettent pas de résoudre le problème ...

Est ce qu'il faut démontrer que le numérateur est positif ou négatif ?

[Shew]

Bonjour Annick !
Merci beaucoup pour votre réponse rapide
A partir de votre piste de réflexion, je suis parvenue à<0 et j'ai aussi tenté de démontrer que l'expression est supérieure à 1 et j'ai obtenu b<0 ...

J'ai désormais compris le principe du raisonnement par l'absurde mais les résultats que j'obtiens ne me permettent pas de résoudre le problème ...

Est ce qu'il faut démontrer que le numérateur est positif ou négatif ?

Détaillez l'ensemble de votre travail ici .

[nico_lmq]

Détaillez l'ensemble de votre travail ici .

(A^2-b^2)/(a^2+b^2) 1
A^2 - b^2 > a^2 + b^2
A^2 - a^2 > b^2 + b^2
0 > 2b^2
0 > b

[Waax22951]

Petite question toute bête: est-ce que c'est ou bien ?

[nico_lmq]

Oui c'est inférieur ou égal :)

[Nicolas.L]

c'est forcément une inégalité large, elle n'est pas vraie si non, il suffit de prendre b = 0 et a non nul pour s'en convaincre..

Petite question,

Tu passe de à , tu es sûr ? :lol3:

[nico_lmq]

c'est forcément une inégalité large, elle n'est pas vraie si non, il suffit de prendre b = 0 et a non nul pour s'en convaincre..

Petite question,

Tu passe de à , tu es sûr ? :lol3:

Je ne comprends pas ou est l'´erreur ... :/

[Nicolas.L]

Réfléchi bien, je sais que les vacances on été longues mais quand même ! Qu'est-ce que tu sais sur la fonction ?

[nico_lmq]

Réfléchi bien, je sais que les vacances on été longues mais quand même ! Qu'est-ce que tu sais sur la fonction ?

Exact ! Elle est forcément positive !
Du coup on ne peut pas résoudre l'équation (a^2-b^2)/(a^2+b^2)<-1 n'a pas de solution donc il suffit de montrer cela pour répondre à l'exercice ?
Merci !

[Nicolas.L]

Oui tu as montrer par l'absurde que ton quotient ne pouvait pas être plus petit que -1, les calculs que tu as fait montrent aussi qu'il ne peut pas être plus grand que 1 donc tu as résolu l'exercice !

[nico_lmq]

D'accord, merci beaucoup !

[Shew]

(A^2-b^2)/(a^2+b^2) 1
A^2 - b^2 > a^2 + b^2
A^2 - a^2 > b^2 + b^2
0 > 2b^2
0 > b

A partir de cette ligne j'aurais procédé differement à votre place :

On a

et on annule des deux côtés , il reste . Concluez .

[paquito]

L'inégalité proposée est , soit

, ce qui est une évidence! Je ne vois absolument pas ce qu'une démonstration par l'absurde viendrait faire! C'est du n'importe quoi!

[Shew]

L'inégalité proposée est , soit

, ce qui est une évidence! Je ne vois absolument pas ce qu'une démonstration par l'absurde viendrait faire! C'est du n'importe quoi!

Une introduction au principe qui n'est pas forcement évident . Prendre les bases pour débuter peut s'averer moins dangereux

[paquito]

On fait une démonstration par l'absurde quand on ne peut pas faire autrement. Si on a une démonstration directe qui en plus tient en une ligne, on ne va pas chercher des complications totalement inutiles. C'est énoncé est de la plus grande stupidité! Le danger, c'est de se noyer dans un type de démonstration qui ne s'impose pas.