DM: Racinne carrée d'un nombre complexe

[Rockleader]

Bon voilà, rien que la première question je bloque. Je ne comprend pas ce que je peux faire la dessus avec le module :mur:

Si quelqun arrive à m'aider...merci beaucoup !

[Sylviel]

tu as déjà obtenu le système initial ? si non --> il suffit de développer le carré et d'identifier partie réelle et imaginaire.

Ensuite tu as Z²=z, que peux tu dire de leur module ?

[Rockleader]

Non je n'ai pas trouvé le système initial...en fait je ne sais pas comment débuter...

[Sylviel]

ben je te l'ai dit :
(X+iY)² = ... (développe)
= x+iy

identifie partie réelle et imaginaire.

[Rockleader]

Donc en dévellopant ça fait X²-Y² +2XYi

Partie réelle : X²-Y²
Partie imaginaire: 2XYi

Donc le module de z c'est racine carré de x²+y², donc c'est x+y
Le module de Z c'est donc X+Y

A partie de ça je continue comment ? J'arrive à la conclusion que le système est vrai si x=X et y=Y...mais ça se démontre comment ?

[Sylviel]

Oh là là, ça démarre bien mais ensuite...
Tu as vu que tu avais obtenu le premier système ?
Tu as :
X²-Y² +2XYi = x + i y
donc
X²-Y² = ...
2XY = ...

Ensuite sur le module tu as
|Z²|=|z|
donc donne moi une égalité sur |Z|.

[Rockleader]

Oh là là, ça démarre bien mais ensuite...
Tu as vu que tu avais obtenu le premier système ?
Tu as :
X²-Y² +2XYi = x + i y

Est ce que ce ne serait pas plutot:

X²-Y² +2XYi = (X + i Y)²

pouquoi peut on dire X²-Y² +2XYi = x + i y ???

[Sylviel]

Ben tu cherche X+iY tel que (X+iY)²=x+iy

[Rockleader]

Ben tu cherche X+iY tel que (X+iY)²=x+iy

ok donc c'est pour ça que l'on peut remplacer.

on a

X²-Y²= (x+iy)-2XYi

2XY= (x+iy-X²+Y²)/i

mais je ne vois pas à quoi ça m'arrange...

[Sylviel]

Non c'est bien plus simple. Tu as
X²-Y² + 2XYi = x + i y

tu prends la partie réelle de chaque côté cela te donne
... = ...
Tu prends la partie imaginaire, cela te donne
... = ...

[Rockleader]

Ensuite sur le module tu as
|Z²|=|z|
donc donne moi une égalité sur |Z|.

|Z l = Racinne carré de (X²+Y²)

[Sylviel]

oui ça c'est la définition, mais à partir de l'équation soulignée.
Et réponds aux questions de l'autre post aussi.

[Rockleader]

Non c'est bien plus simple. Tu as
X²-Y² + 2XYi = x + i y

tu prends la partie réelle de chaque côté cela te donne
... = ...
Tu prends la partie imaginaire, cela te donne
... = ...

Ah ok :id: oui donc avec ça on retombe sur le système à trouver; et donc ça a été démontrer...



Pour la 2 je suppose qu'il suffit de remplacer dans le membre de droite par les caleurs de x et y et on est censé retomber sur le membre de gauche ?

[EDIT] Deso le post précédent je ne l'ai vu qu'après avooir posté...

[Rockleader]

Sauf que problème, je tombe sur

racide de x²+y² = X²-Y² +2XY -racine de (2) *XY

En fait là je comprends pas...normalement je devrais pouvoir simplefier et retomber sur le membre de gauche...je ne vois pas pourquoi ça ne marche pas...

[Sylviel]

Relis ta question 2, on ne te demande pas de résoudre mais de trouver une nouvelle équation.
Cette équation vient de :
|Z|²=|z| (es-tu d'accord avec cette égalité ?)
maintenant en utilisant la défintion du module on obtient
... = ...

[Rockleader]

Relis ta question 2, on ne te demande pas de résoudre mais de trouver une nouvelle équation.
Cette équation vient de :
|Z|²=|z| (es-tu d'accord avec cette égalité ?)
maintenant en utilisant la défintion du module on obtient
... = ...

Oui puisque l'on a

Z²=z

Alors on a |Z²|=|z|


Donc on a

|Z²|= Z*Conjugué de Z = (X+iY)*(X-iY) =X²-Y²

|z|=racine de (x²+y²)

Quid erat demonstratum

[Sylviel]

Tu peux donc passer au petit 3) :-)

[Rockleader]

Bon par contre, j'ai un petit soucis...quand je veux exprimer X, me reste un Y qui traine, et pareil quand je veuxx faire l'inverse...

On a

X²+Y² = 5

X²= 5-Y²
X= sqrt(5) - Y
Y= sqrt(5) - X

Et si je procèdde par substitution je tombe sur X=X et Y=Y ce qui ne m'avance pas beaucoup :hein:

[Sylviel]

X²= 5-Y²
X= sqrt(5) - Y
:briques: c'est complètement faux ça !

Sinon utilise plutôt tes deux premières équations...
Rq : on te demande de trouver X² et Y², pas X et Y...

[Rockleader]

Ah oui j'avais mal lu...

Toutefois on va tomber sur le même problème

X²-Y²=3
2XY = -4


Grâce à ça je peux savoir que X et Y n'ont pas le même signe...mais je ne vois pas comment je peux trouver les valeurs de X²etY²...Quand je tente la sunstitution, ça me donne un truc horrible..