Racine carrée

[dragonou]

Bonjour , je cherche la racine carrée du nombre i et j'aimerais que vous me disiez si mon raisonnement est bon .

z^2 = i

On sait que donc le module de z sera la racine carrée du module de i et que son argument sera 2 fois plus petit .

Donc çà me ferait comme racine carrée 1(cos pi/4 + i sin pi/4) , soit e^(i*pi/4) .

Ceci étant j'ai appris que si n = 2 , alors il doit yavoir 2 complexes , là je n'en ai qu'un , quelqu'un sait où est le second ?

merci

[johnjohnjohn]

Bonjour , je cherche la racine carrée du nombre i et j'aimerais que vous me disiez si mon raisonnement est bon .

z^2 = i

On sait que donc le module de z sera la racine carrée du module de i et que son argument sera 2 fois plus petit .

Donc çà me ferait comme racine carrée 1(cos pi/4 + i sin pi/4) , soit e^(i*pi/4) .

Ceci étant j'ai appris que si n = 2 , alors il doit yavoir 2 complexes , là je n'en ai qu'un , quelqu'un sait où est le second ?

merci

Pour résoudre ce genre d'équation , tu peux poser :

r le module, alpha l'argument

Ton équation équivaut donc à


Et apres tu travailles un petit peu ... :lol5:

[dragonou]

oui mais dans mon cours j'ai pas çà , donc çà me perturbe , j'ai çà :

z = e^(i*2kpi/n) , pour la racine ènième

Ici , i s'écrit e^(i*pi/2) , donc l'équation c'est :

e^(i*2kpi/2) = e^(i*pi/2)

e^(i*kpi) = e^(i*pi/2)

comment tu résouds çà toi...

[johnjohnjohn]

oui mais dans mon cours j'ai pas çà , donc çà me perturbe , j'ai çà :

z = e^(i*2kpi/n) , pour la racine ènième

Ici , i s'écrit e^(i*pi/2) , donc l'équation c'est :

e^(i*2kpi/2) = e^(i*pi/2)

e^(i*kpi) = e^(i*pi/2)

comment tu résouds çà toi...

Là franchement je ne sais pas ou tu nous emmènes hein. Peut être que tu n'as pas vu la méthode de résolution en cours mais si tu as vu la forme exponentielle des complexes ( et ce que tu as écris suggère que c'est bien le cas ) alors tu peux l'appliquer.


( je crois que ce que tu évoques ce sont les solutions de l'équation z^n=1 , c'est pas tout à fait l'équation que tu as à résoudre)

[dragonou]

regarde là j'ai bien appliqué ma méthode et çà a marché , pq çà ne marcherait pas ici :

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=23752

[rene38]

Bonjour

... et que son argument sera 2 fois plus petit.

Tu dois donc avoir
donc
d'où
et les 2 complexes dont le carré est i
ont pour module 1 et pour arguments
et - (avec k=0 et k=-1)

[dragonou]

Bon d'accord alors je prends un autre exemple :

Trouver la racine carrée de 24 - 10i .

1.Je l'écris sous forme exponentielle celà me fait 26e^(i*-0,39)

Donc z^2 = 26e^(i*-0,39)

|z| = V(26) = 5,1

arg(z^2) = -0,39 + 2kpi

2*arg(z) = -0,39 + 2kpi

arg(z) = -0,195 + kpi

comment choisir k ici ...

[rene38]

toujours pareil k=0 et k=1 (ou k=0 et k=-1) ou ...

Puisqu'un argument n'est défini que modulo 2pi il suffit de prendre 2 valeurs de k de parités différentes.

[dragonou]

2 dernières petites questions :

comment choisir entre k = 1 ou k = -1 ?

si par exemple k ) 1 , comment écris tu le résultat sous forme exponentielle :

|z| = V5

arg(z) = -0,195 + pi

Comment ces 2 choses tu les combines pour l'écriture exponentielle ?

[johnjohnjohn]

Pour résoudre ce genre d'équation , tu peux poser :

r le module, alpha l'argument

Ton équation équivaut donc à


Et apres tu travailles un petit peu ... :lol5:

rene38 t'a donné une autre façon de voir les choses et tu peux le retenir. Je vais au bout de la méthode que je t'ai proposée, ça te fera deux approches différentes :

[johnjohnjohn]

Il fallait lire :








Le lecteur aura rectifié de lui même ....

[dragonou]

merci c'est sympa , çà m'a bcp aidé j'essayerai de retenir vos 2 manières de faire .