Question diverse

[nico033]

Bonsoir,

je ne comprend la correction dun exercice:

voici le sujet:
z' = (z-4i)/(z+2).

l'ensemble des points M daffixe z tels que |z'| est un réel est: ?
la reponse: une droite privée du point d'afixe -2.

justification:
en posant z = x+iy on a

z' = (x(x+2)+y(y-4)+i(4x+2y+8))/((x+2)²+y²).

or pour que z' soit réel il faut que sa partie imaginiaire soit nulle, donc 4x+2y+8 = 0 avec z différent de -2.
Comme de plis ce point d'affixe -2 appartient à la droite d'équation 4x+2y+8 = 0 alors CQFD.

ce que je ne comprend pas dans son raisonnement cest que pourquoi dire que le point daffixe -2 appartient a la droite, comment elle fais pour dire ca? pourriez vous mexpliquer sil vous plait merci

[chan79]

slt
déjà d'après la définition de z', z+2 ne peut pas être nul
je trouve 2x-y+4=0 mais il ne faut pas prendre x+iy=-2 il faut donc exclure (x;y)=(-2;0)

[nico033]

je ne comprend pas tout ce que vous ecrivez, pourriez vous me lexpliquer sil vous plait merci

[chan79]

refais le calcul de z' en remplaçant z par x+iy puis écris que la partie imaginaire est nulle; tu auras l'équation mais il faut aussi que z soit différent de 2, c'est à dire qu'il faut exclure (-2;0) qui est justement un point de la droite trouvée
A toi de jouer

[nico033]

en posant z = x+iy dans z' = (z-4i)/(z+2) on a pour moi:

z' = (x+iy-4i)/(x+iy+2).
il faut ensuite multiplié haut et bas par le conjugué:


z' = (x+iy-4i)*(x-iy+2)/((x+iy+2)*(x-iy+2)). est ce ça?

apres je developpe ?

z' = (x²-xiy + 2x + xiy -i²y² + 2iy -4ix +4i²y -8i)/(x²-i²y²+4).

or i² = -1 d'où on a:

z' = (x²-xiy+2x+xiy+y²+2iy-4ix-4y-8i)/(x²+y²+4).
mais apres je sais pas trop

[chan79]

z' = (x+iy-4i)*(x-iy+2)/((x+iy+2)*(x-iy+2))
z' = (x+i(y-4))*(x+2-iy)/((x+2+iy)*(x+2-iy))
z' = (x+i(y-4))*(x+2-iy)/((x+2)²+y²)
la partie imaginaire du numérateur doit être nulle
(y-4)(x+2)-xy=0
yx+2y-4x-8-xy=0
-4x+2y-8=0
4x-2y+8=0
2x-y+4=0 sauf (-2;0)

[nico033]

comment avez vous fais pour trouver (y-4)(x+2)-xy=0
? je ne vois pas

[chan79]

z' = (x+i(y-4))*(x+2-iy)/((x+2)²+y²)
le numérateur est (x+i(y-4))*(x+2-iy)
je développe
x(x+2)+x(-iy)+i(y-4)(x+2)-i²(y-4)y et i²=-1
x(x+2)+(y-4)y + i(-xy+(y-4)(x+2))
x(x+2)+(y-4)y est la partie réelle
(-xy+(y-4)(x+2)) est la partie imaginaire qui doit être nulle
donc
-xy+(y-4)(x+2)=0 et ça donne
-xy+yx+2y-4x-8=0
-4x+2y-8=0
4x-2y+8=0
2x-y+4=0 c'est l'équation

[nico033]

Bonjour, jai essayer de develloper cette expression
(x+i(y-4))*(x+2-iy) mais je ne trouve pas la meme chose que vous
pourriez vous mexpliquer sil vous plait voici ce que jai fais:

(x+iy-4)*(x+2-iy) = x²+2x-iyx + iyx + 2iy - i²y² -4x-8+4iy. or i² = -1 d'où
=x²+2x-iyx+iyx+2iy+y²-4x-8+4iy.

je remarque que -iyx et +iyx s'annule donc il me reste:

=x²+2x+2iy+y²-4x-8+4iy
= x(x+2-4) + y²+ i(2y+4y).
= x(x-2)+y²+i(6y).

apres je fais comment?