Question de dérivée pour les 1ère

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Je m'adresse aux premières en posant le problème suivant :

Soit une fonction dérivable. Sauriez-vous démontrer que si f' est positive alors f est croissante ?

C'est une propriété très utilisée, c'est assez important de savoir la démontrer. J'ai demandé à un élève aujourd'hui, il n'a pas su rédiger de preuve mais il a pu intuiter la chose ce qui est déjà bien !

Des idées?
:happy3:

[Timothé Lefebvre]

Salut,

je crois qu'en Première ce théorème est admis. Il est démontrable en combinant Rolle et les accroissements finis mais ce n'est pas au programme du Lycée.

Ceci dit je pense qu'on peut s'en approcher géométriquement ou en faisant l'étude d'un cas particulier (genre ).

[Nightmare]

Rolle? Comment intervient-il dans la démonstration?

[Timothé Lefebvre]

Il permet de démontrer le théorème des accroissements finis.

[Nightmare]

D'accord donc finalement on a juste besoin du théorème des accroissements finis, certes ! Cependant on peut démontrer ce théorème sans utilisation des accroissements finis.

[Timothé Lefebvre]

Ah, à l'aide de quoi ?
Niveau Première je ne vois pas, à part géométriquement ?

[Nightmare]

Disons que ça s'apparente plus à un exercice d'olympiade qu'à un réel exercice de première. Je te laisse cogiter.

[Timothé Lefebvre]

Re, bon je crois que j'ai trouvé.

Il n'est besoin de démontrer que la première des assertions pour démontrer la seconde de facto, à savoir que si I un intervalle ouvert non vide et f une fonction dérivable sur I alors si f' est positive ou nulle sur I on a f croissante sur I.

On examine le taux d'accroissement de f en posant f(x) et f(y) pour tout x et pou tout y de I : si f est croissante alors celui-ci sera toujours positif (ou nul).
Or, on sait que la dérivée est la limite du taux d'accroissement en un point, dans ce cas-là elle sera toujours positive ou nulle.

Il ne reste plus qu'à poser x
Au final on a f(x) inférieur ou égal à f(y).

[Nightmare]

Je ne comprends pas, tu utilises encore le théorème des accroissements finis?

[Timothé Lefebvre]

Oui, il faut que je creuse plus ...

[benekire2]

Et bien je suggère de revenir sur la découverte de la dérivation.
Dérivée positive = Coefficient directeur de la tangente positive, de là je pense qu'on a plus de soucis.

[Timothé Lefebvre]

Ouais, c'est ce que je disais dans la première partie de mon raisonnement.

[Nightmare]

Et bien je suggère de revenir sur la découverte de la dérivation.
Dérivée positive = Coefficient directeur de la tangente positive, de là je pense qu'on a plus de soucis.

Je t'écoute :happy3:

[benekire2]

Soit A(a;f(a)) et B(b;f(b))

Fonction croissante => si a
Tu applique la dérivée, et ce sera positif. Et inversement. Je détaille pas désolé. J'ia froid aux doigts , je rentre d'un tennis.

[Nightmare]

C'est bien ce que je dis, je t'écoute, je doute que tu ailles jusqu'au bout :happy3:

[Timothé Lefebvre]

Soit A(a;f(a)) et B(b;f(b))

Fonction croissante => si a<b alors f(a)<f(b)

Tu applique la dérivée, et ce sera positif. Et inversement. Je détaille pas désolé. J'ia froid aux doigts , je rentre d'un tennis.

Ce serait pas ce que j'ai mis en gros ? ^^

[benekire2]

Ce serait pas ce que j'ai mis en gros ? ^^

Désolé j'ai pas lu ... Mais je pense que c'est ça qu'il faut dire.

Aller dsl, le français m'appelle !!

[Anonyme]

C'est pas complique tout ca

Il faut juste revenir a la definition de la derive on obtient alors
(je suppose ici que h est >0 l'autre cas est analogue)

f(a+h)-f(a)= f'(a) (h)

h>0
f'(a)>0
donc f(a+h)>f(a) et a+h>a

CQFD

[Timothé Lefebvre]

Désolé j'ai pas lu ... Mais je pense que c'est ça qu'il faut dire.

Aller dsl, le français m'appelle !!

Le mien est fait depuis ce midi :langue2:

[Nightmare]

c'est qui x? Qui justifie son existence? C'est exactement le théorème des accroissements finis.