Question démonstration

[Jkookarmy]

Voici l’énoncé qu’on m’a donné :

On considère la courbe de la fonction exponentielle.
Soit a un réel quelconque.
On note A le point de la courbe d’abscisse a, B le point d’intersection de la tangente à la courbe au point d’abscisse a avec l’axe des abscisses, H le point de l’axe des abscisses d’abscisse a.
1- faire une figure (je l’ai faite)
2- montrer que le distance BH est indépendante de a. Quelle est sa valeur ?

Pour la question 2, j’ai pensé à utiliser la formule ( f(a+h) - f(a))/h pour démontrer que la distance BH est indépendante de a, du fait de la soustraction mais je ne sais pas comment m’y rendre, connaissez vous une démonstration ou autre chose qui pourrait m’aider à répondre à cette question 2.

Cordialement.

[Mateo_13]

Bonjour,

pourrais-tu stp nous envoyer ta figure ?
guide-utilisation-f41/comment-inserer-une-image-t215647.html#p1404661

Cordialement,
--
Mateo.

[Jkookarmy]

[Sa Majesté]

Salut,
Trouve une équation de la tangente à la courbe au point A d'abscisse a.
Déduis-en l'abscisse de B.
Conclus.

[Jkookarmy]

y= f’(a)(x-a)+f(a)
y= f’(a)x -f’(a)*a + f(a)

Déduction de l abscisse en B.
B ( ? ; 0 )
A (a ; f(a) )

Pour déterminer l’abscisse de B, je dois faire :
(y(B) - y(A))/(x(B) - x(A))
Et isoler x ?

[Sa Majesté]

Pour déterminer l'abscisse de B, il faut savoir comment B est déterminé.
B est déterminé par l'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente en A à la courbe.
Tu connais une équation de l'axe des abscisses.
Tu connais une équation de la tangente en A à la courbe.
Reste à résoudre le système.

[Jkookarmy]

Donc ;
y=0
y= f’(a)x - f’(a)*a + f(a)

Quand j’essaie de simplifier je trouve un truc comme ça :

y=0
x= (-f(a)*a + f(a))/f’(a)

Et je bloque à cette étape

[annick]

Bonjour,

depuis le début il me semble qu'on oublie la première phrase de l'énoncé : "On considère la courbe de la fonction exponentielle. "

Donc, pour moi,

f(x)=e^x
f'(x)=e^x donc :

A(a, e^a)
H(a,0)
B(?, 0)

[Jkookarmy]

Alors :
y=0
y= e^ax - e^a*a + e^a

J arrive pas à simplifier
Je suis bloquée à :
y=0
x= (-e^a*a + e^a)/-e^a

Et aussi pensez vous que ma figure est juste ?

[Sa Majesté]

x= (-e^a*a + e^a)/-e^a

Tu peux simplifier par e^a

[Jkookarmy]

(J ai pas compris pourquoi les signes s’inversaient juste avant par contre)

Sinon : B(e^a*a ; 0)
C’est ça ?

Si on fait : x(H) - x(B)
Alors : a- (e^a * a)
Après j ai tout divisé par a et j’ai trouvé la valeur : -e^a

En quoi ça nous prouve que la distance BH est indépendante de a ?

[Jkookarmy]

Simplification : (-e^a*a+e^a)/-e^a
= (-e^2a*ae^a+e^2a)/-e^2a
= ae^a - 1

?

[Sa Majesté]