Question de continuité.

par **Swann** » 06 Déc 2008, 16:19

bonjour,
j'ai une question d'un exercice où je bloque. Pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = (cos2x-1)/x si x différent de 0
f(0) = 0

la fonction est elle continue en 0 ?

je sais que je dois étudier la limite de f en 0, sauf que je sais pas si je dois me servir de f(0)=0 ou bien si j'utilise f(x)=(cos2x-1)/x auquel cas c'est un cas d'indétermination du type "0/0" et je dois modifier l'ecriture de f. si oui... je ne sais pas comment je dois m'y prendre pour la modifier :s

Merci de m'aider.
Swann

par **XENSECP** » 06 Déc 2008, 16:22

oui c'est continue ^^ Evidemment ^^ Pouquoi ? Hum ma méthode est pas du "lycée" même si elle est carrément + simple :)

par **Clembou** » 06 Déc 2008, 16:23

Swann a écrit:bonjour,
j'ai une question d'un exercice où je bloque. Pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = (cos2x-1)/x si x différent de 0
f(0) = 0

la fonction est elle continue en 0 ?

je sais que je dois étudier la limite de f en 0, sauf que je sais pas si je dois me servir de f(0)=0 ou bien si j'utilise f(x)=(cos2x-1)/x auquel cas c'est un cas d'indétermination du type "0/0" et je dois modifier l'ecriture de f. si oui... je ne sais pas comment je dois m'y prendre pour la modifier :s

Merci de m'aider.
Swann

Le truc c'est que si tu trouves que :

c'est que ta fonction est continue en 0. Maintenant, ma première intuition serait de modifier

par une formule que tu dois bien connaitre, je pense !

par **nodgim** » 06 Déc 2008, 16:24

Il te faut trouver d'abord la limite en 0 de f(x). Si c'est 0, la fonction sera continue, puisqu'on pose, en plus, que f(0)=0.

par **Swann** » 06 Déc 2008, 16:28

ahhhh
cos(2x) = cos²x-sin²x = 1-2sin²x = 2cos²x-1

je connais tout ça ! lol

...il faudrait pas utiliser 1-2sin²x comme ça, ça suprrimerait les 1...?
et apres j'ai (2sin²x)/x.... mais sin(0)=0.. je tourne en rond là non ? !

par **Swann** » 06 Déc 2008, 16:29

c'est quoi la methode plus simple :p ?

par **Clembou** » 06 Déc 2008, 16:30

Swann a écrit:c'est quoi la methode plus simple :p ?

Ta fonction me fait penser à un taux d'accroissement. Je me trompe :hein:

par **Kah** » 06 Déc 2008, 16:32

Rappelles toi qu'une fonction derivable est continue.
Donc tu dérives et tu calcules la limite de la derivée en 0.

par **Swann** » 06 Déc 2008, 16:33

a oui en effet ce n'est pas faux ...

(cos2x-1)/x= (f(x)-f(0))/(x-0)

mais.. le taux d'accroisement c'est pas pour étudier la dérivabilité, pas la continuité ????

par **Kah** » 06 Déc 2008, 16:34

Peut etre mais par définition, une fonction dérivable est continue.

par **Swann** » 06 Déc 2008, 16:35

La dérivabilité entraine la continuité mais c'est pas réciproque c'est ça ?

par **Swann** » 06 Déc 2008, 16:37

mais là je sais plus quoi faire :s

je modifie l'expression, je fais le taux d'accroisement ou bien je la dérive ??!

par **nodgim** » 06 Déc 2008, 16:37

Swann a écrit:ahhhh
cos(2x) = 2cos²x-1

Et donc l'expression cos2x-1 vaut?

par **Kah** » 06 Déc 2008, 16:37

Oui parfaitement, même si les fonctions continues et non dérivables sont très très étranges.

par **Swann** » 06 Déc 2008, 16:43

alors cos2x-1 = 2cos²x-1-1 = 2cos²x-2 = 2(cos²x-1)

donc f(x)=[2(cos²x-1)]/x et limf(x) quand x tend vers 0...=.. cas d'indétermination !

:'(

par **Swann** » 06 Déc 2008, 17:07

Je crois que j'ai enfin fini par comprendre & trouver. Pouvez vous me dire si c'est juste ?

lim (cos2x-1)/x = lim (cos2x-cos0)/(x-0) = lim cos'(0) = lim -sin(0) = 0

or, comme f(0)=0 alors f est continue en 0...

:D

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