Propension marginale à consommer

[verre]

Bonjour,

N'ayant pas un très grand niveau en maths pouvez m'aider à faire cette exercice en vous remerciant de votre aide par avance.
Voici le sujet

Suivant le montant P de son revenu R, un ménage consacre une partie de ce revenu à consommer ; soit C(R) le montnant de cette consommation.
Dnas un pays, on suppose que la fonction de consommation est donée en fonction du revenu R exprimé en k (E) par :

C(R) = 5 R² + 240 R + 160 / 6 (R + 40)

1) Calculer la propension marginale à consommer pour un ménage dont le revenu est de 60 k E

2) Résoudre l'équation 5 ( x² + 80x + 1888) / 6(x + 40)² = 17/20

En déduire le revenu d'un ménage dont la propension marginale à consommer est de 85 %

Pour la question 1) je dois faire C(R) = 60 K E ???????

Merci d'avance de votre aide car je nage ...

[mathtiti]

Bonjour,

N'ayant pas un très grand niveau en maths pouvez m'aider à faire cette exercice en vous remerciant de votre aide par avance.
Voici le sujet

Suivant le montant P de son revenu R, un ménage consacre une partie de ce revenu à consommer ; soit C(R) le montnant de cette consommation.
Dnas un pays, on suppose que la fonction de consommation est donée en fonction du revenu R exprimé en k (E) par :

C(R) = 5 R² + 240 R + 160 / 6 (R + 40)

1) Calculer la propension marginale à consommer pour un ménage dont le revenu est de 60 k E

2) Résoudre l'équation 5 ( x² + 80x + 1888) / 6(x + 40)² = 17/20

En déduire le revenu d'un ménage dont la propension marginale à consommer est de 85 %

Pour la question 1) je dois faire C(R) = 60 K E ???????

Merci d'avance de votre aide car je nage ...

1)
Bon, et ben j'ai eu du mal ne sachant pas a priori ce qu'était la propension marginale à consommer.

Il s'agit du rapport entre la variation de la consommation et la variation du revenu qui s'exprime par :

c = C'(R) (la dérivée de C(R).

Calculons donc la dérivée : (u/v)' = (u'v - uv')/v²

C'(R) = ((10r + 240)(r + 40) - (5r² + 240r + 160)) / 6(r + 40)²
C'(R) = (10r² + 400r + 240r + 9600 -5r² - 240r - 160) / 6(r + 40)²
C'(R) = (5r² + 400r + 9440) / 6(r + 40)²

Et donc C'(60) = 643/750 ~ 0,8573
ou encore C'(60) ~ 85,73 %

2)
Tout d'abord la fonction est défini sur R-{-40} (sinon division par 0)

L'équation peut s'écrire :
5x² + 400x + 9440 = ((17x6)/10)(x + 40)²
5x² + 400x + 9440 = 51/10(x² + 80x + 1600)
x² + 80x - 12800 = 0

Equation du second degré. On calcule son discriminant :
Delta = b² - 4ac = 6400 - (-51200) = 6400 + 51200 = 57 600
Delta > 0 donc il y a deux solutions réelles distinctes :
x1 = (-b-VDelta)/2a (où V représente la racine carrée)
x2 = (-b+VDelta)/2a

Soit :
x1=(-80-240)/2 = -160
x2=(-80+240)/2 = 80

la propension marginale à consommer (c'est à dire C'(R) ) est de 85 % donc :
C'(R) = 85/100 = 17/20
(5r² + 400r + 9440) / 6(r + 40)² = 17/20
5 (r² + 80r + 1888) / 6(r + 40)² = 17/20

et on reconnaît l'équation qu'on vient de résoudre !

Comme R > 0, seule la solution R = 80 convient !

[verre]

1)
Bon, et ben j'ai eu du mal ne sachant pas a priori ce qu'était la propension marginale à consommer.

Il s'agit du rapport entre la variation de la consommation et la variation du revenu qui s'exprime par :

c = C'(R) (la dérivée de C(R).

Calculons donc la dérivée : (u/v)' = (u'v - uv')/v²

C'(R) = ((10r + 240)(r + 40) - (5r² + 240r + 160)) / 6(r + 40)²
C'(R) = (10r² + 400r + 240r + 9600 -5r² - 240r - 160) / 6(r + 40)²
C'(R) = (5r² + 400r + 9440) / 6(r + 40)²

Et donc C'(60) = 643/750 ~ 0,8573
ou encore C'(60) ~ 85,73 %

2)
Tout d'abord la fonction est défini sur R-{-40} (sinon division par 0)

L'équation peut s'écrire :
5x² + 400x + 9440 = ((17x6)/10)(x + 40)²
5x² + 400x + 9440 = 51/10(x² + 80x + 1600)
x² + 80x - 12800 = 0

Equation du second degré. On calcule son discriminant :
Delta = b² - 4ac = 6400 - (-51200) = 6400 + 51200 = 57 600
Delta > 0 donc il y a deux solutions réelles distinctes :
x1 = (-b-VDelta)/2a (où V représente la racine carrée)
x2 = (-b+VDelta)/2a

Soit :
x1=(-80-240)/2 = -160
x2=(-80+240)/2 = 80

la propension marginale à consommer (c'est à dire C'(R) ) est de 85 % donc :
C'(R) = 85/100 = 17/20
(5r² + 400r + 9440) / 6(r + 40)² = 17/20
5 (r² + 80r + 1888) / 6(r + 40)² = 17/20

et on reconnaît l'équation qu'on vient de résoudre !

Comme R > 0, seule la solution R = 80 convient !

pourquoi 10 r la dérivée de 5 R ==> 10 r ?????

[verre]

pourquoi 10 r la dérivée de 5 R ==> 10 r ?????

C'(60) = 643/750 ~ 0,8573
Comment trouvez vous ce résultat puis je avoir un peu plus de détail sur ce calcul

2) comment savez vous que la fonction est défini sur R - ( - 40 )
comment avez vous trouvez ceci 5x² + 400x + 9440

[mathtiti]

C'(60) = 643/750 ~ 0,8573
Comment trouvez vous ce résultat puis je avoir un peu plus de détail sur ce calcul

2) comment savez vous que la fonction est défini sur R - ( - 40 )
comment avez vous trouvez ceci 5x² + 400x + 9440

1)
Concernant la première question, attention, 10r est la dérivée de 5r²...

Quand il y a une puissance nous avons :
x^n = nx^(n-1) où ^est pour marquer la puissance

ainsi avec n = 2 :
x^2 = 2x^1
(en écrivant plus simplement : x² = 2x)

Revenons à la dérivée de 5r²,

Il faut bien voir que comme 5 est un nombre, on a (par les propriétés de la dérivée) :
(5r²)'=5(r²)'

=> Elle est alors 5 multiplié par la dérivée de r² soit (2r) d'où au final 10r ...

2)
Nous avons après calcul :
C'(R) = (5r² + 400r + 9440) / 6(r + 40)²

donc :
C'(60) = (5 x 60² + 400 x 60 + 9440) / (6 x (60 + 40)²)
C'(60) = (18000 + 24000 + 9440) / (6 x 10000)
C'(60) = 51440 / 60000
en divisant par 10 : C'(60) = 5144/6000
c'est encore divisible par 2, et même par 4 et même par 8 ! :
C'(60) = 643 / 750
a priori, ce n'est plus divisible, ouf... c'est déjà pas si mal ! :zen:

Reste avec la calculette à trouver son approximation...


Dans la fonction, nous avons un dénominateur avec (r + 40).
Or si nous prenons r = -40, nous avons r + 40 = 0 (et donc 6(r+40) = 0)
Ce qui est gênant car on ne peut pas diviser par 0 !...
Donc la fonction n'est pas définie pour r = -40. Mais dans l'exercice on a toujours R >= 0 donc pas de soucis :lol3: (mais cette démarche pourra servir pour d'autres exercices peut-être...)

Ensuite, reprenons notre équation :
5 ( x² + 80x + 1888) / 6(x + 40)² = 17/20

Il faut se "débarasser" de ce dénominateur avec inconnue, qui est très gênant pour les calculs... Pour cela, il suffit finalement de multiplier les deux membres (gauche et droite) par ce dénominateur. Donc on multiplie tout par 6(x + 40)². Soit :
5 ( x² + 80x + 1888) = 17/20 (6(x + 40)²)
Rm : petite erreur ici dans ma première retranscription... mais après c'est ok car on a bien en multipliant 17 par 6 :
5 ( x² + 80x + 1888) = (102/20)(x + 40)²
Soit :
5 ( x² + 80x + 1888) = (51/10)((x + 40)²)
en développant :
5x² + 400x + 9440 = (51/10)(x² + 80x + 1600)
5x² + 400x + 9440 = (51/10)x² + 408x + 8160
en passant tout à gauche :
5x² - (51/10)x² + 400x - 408x + 9440 - 8160 = 0
-(1/10)x² - 8x + 1280 = 0
et multipliant par (-10) pour que ce soit plus lisible :
x² + 80x - 12800 = 0