Produit scalaire DM 1ereS

[Rodrigo]

Bonjour,
j'ai besoin de votre aide pour un DM sur le produit scalaire. On a deux exoss a faire,mais il y en a un où je bloque totalement !!!
Pourriez vous m'aider svp ?
Soit ABC un triangle. I est le milieu de [BC] H est le pied de la hauteur issue de A.
1 PROUVER que :
AC²-AB²=2* vecteur BC .(scalaire)vecteur AI=2*vecteur BC.vecteur HI.
J'ai essayé de m'aide avec les carrés scalaires mais en vain.... JE TROUVE PAS.
2. a discuter le signe de vecteur BC.vecteur HI suivant la position de H sur (BC)
b. Donner une condition nécéssaire et suffisante sur les cotés [AB] et [AC] du triangle pour que H soit plus prés de B que de C; puis plus prés de C yue de B.
( je suppose qu'il faut s'aider de la premierequeston ! )
MERCI de me repondre !

[Huppasacee]

AC² - AB²

identité remarquable
( pour les vecteurs , on utilise le produit scalaire )

[Rodrigo]

Oui je sais, j'y ai pensé mais je ne vois pas comment !!!
je sais que AC²-BC²=vecteur AC²- vecteur BC²
donc VECTEUR(AC+BC).VECTEUR(AC-BC)
Mais aprés je n'arrive plus !!!
j'ai beau développer a chaque fois avec chasles mais sanssuccés ! Quelq"un pourrait m'aider ???

[Huppasacee]

VECTEUR(AC+BC).VECTEUR(AC-BC)

A partir de cela :

on essaie de se débarrasser des signes -



et ensuite :

si H est le milieu de CD, alors, pour tout M du plan ou de l'espace :



ceci est un exemple
à toi de l'appliquer

[Rodrigo]

Ah ok !!!! je suis parti de ca,certes mais j'ai enfin trouvé! merci !!! mais maintenant le probleme c est la 2 b.

Mais je voudrais savoir si ce que j'ai fait ensuite avant c'est juste ?!
pour 2a) :
Sachant que BC.HI= BC*HI *cos ( BC,HI) (sous entendu les vecteurs)
j'en déduis que : BC et HI sont toujours positifs;
La différence va donc dépendre de l'angle orienté :
si H est sur [IC), on a : (BC,HI)=pi ou -pi. Dans tous les cas, le cos sera négatif ! Donc le produit scalaire aussi! Inversement, si H est sur [IB), alors l'angle orienté vaut 0 est le cos=1 donc le produit scalaire est positif !

Enfin, pour la 2 b, j'ai du mal !
Cette année,la prof m'a fait le reproche de savoir une condition obligatoire ou suffisante ! C'est pour cela que je vos demande de l'aide !
Je pensais dire qu'il fallait augmenter l'angle entre [AB] et [BC] et réduire celui entre [AC] et [CB] pour que H soit plus prés de B que de C ! et inversement pour que H soit plus prés de C que de B !
Mais je ne pense pas que c'est ca !
Svp, répondez moi !!!
Merci d'avance !

[Huppasacee]

tu as bien :

AC²-AB²=2* vecteur BC .(scalaire)vecteur AI=2*vecteur BC.vecteur HI

donc si le signe est positif, HI et BC sont dans le même sens

et que peut on dire de AC par rapport à AB en tenant compte de l'égalité ci dessus ?

[Rodrigo]

comme on a AC²-AB²=2*vecteur BC.vecteur HI, alors AC²> AB² car 2*vecteur BC.vecteur HI est positif, donc AC>AB et ainsi H sera plus prés de B que de C ! c'est ca ?

[Huppasacee]

c'est le raisonnement à tenir , en effet

[Rodrigo]

Merci beaucoup !!! au revoir ! Bonne soirée !