Probleme urgent

par **juju78** » 28 Mai 2006, 20:35

Bonjour , dans l'exercice suivant :
On fait des essais de mélanges de deux boissons : du pur jus de fruit et de l'eau sucrée, en suivant le processus suivant.
Au depart, on a deux récipient :
-A contient un volume de a0 litres de jus;
-B content un volume de b0 litre d'eau.

PREMIERE ETAPE
On preleve 3/10 du contenu de A et 2/10 du contenu de B.
On verse dans ce qui reste de jus dans A, les 2/10 d'eau prelevés dans B.
On verse , dans ce qui reste d'eau dans B, les 3/10 de jus prelevés dans A.

Etapes suivantes et toutes identiques:

On preleve 3/10 du contenu de A et 2/10 du contenu de B.
On verse , dans A , les 2/10 prelevés dans B.
On verse dans B, les 3/10 prelevés dans A.

On note
Pn= an
bn , le vecteur colonne ou :
an est le volume de boisson contenue dans A apres la n-ieme etape, et bn est le volume contenue dans B apres la n-ieme etape.

il me demande quels sont les pourcentages de jus dans B et d'eau dans A apres la 5étapes; 10étapes et 20étapes
étant donné que

et je n(y arrive vraiment pas...car je crois quil faut un raport entre a0 et b0 mais on a juste le systeme suivant :
a1= 0.7a0 + 0.2b0
b1= 0.3a0+ 0.8b0

rien de+
merci :help:

par **BancH** » 28 Mai 2006, 21:18

Bonsoir,

Pour le pourcentage d'eau dans A, on ne prend en compte que la concentration d'eau:
a1=>0.2
b1=>0.8

a2=>0.2-0.06+0.16=0.3
b2=>0.8+0.06-0.16=0.7

a3=>0.3-0.09+0.14=0.35
b3=>0.7+0.09-0.14=0.65

a4=>0.35-0.105+0.13=0.375
b4=>0.65+0.105-0.13=0.625

Tu remarques:
a2-a1=0.1
a3-a2=0.05
a4-a3=0.025

A chaque étape, la concentration d'eau dans A est augmentée de 0.1/2^n avec n le nombre d'étapes effectuées (en comptant n=0)
De même tu remarques que la concentration d'eau dans B diminue de 0.1/2^n

Aprés 5 étapes, la concentration d'eau dans A aura augmentée de 0.1/2^0 + 0.1/2^1 ... +0.1/2^4

=0.1+0.05+0.025+0.0125+0.00625
=0.188125

=> 0.2 + 0.188125 = 0.388125 = 38.8125 % d'eau dans A.

Mais pour les calculs plus longs avec 20 étapes je ne connais pas la formule simplifiée de 0.1/2^0......+0.1/2^19

par **BancH** » 28 Mai 2006, 21:48

Si tout ce que j'ai dit est juste (je ne pense pas :we: ), pour le pourcentage de jus dans B à la 5eme étape, tu as

100(0.3-(0.1/2^0....+0.1/2^4))

Car:

BancH a écrit:De même tu remarques que la concentration d'eau dans B diminue de 0.1/2^n

Et le coefficient de diminution de jus dans B est égal à celui de l'eau.

100(0.3-(0.1/2^0....+0.1/2^4))
=100(0.3-0.188125)
=100(0.111875)
=11,1875%

Pour les étapes 10 et 20 les diminutions sont négligeables je pense.

par **Daragon geoffrey** » 29 Mai 2006, 18:05

slt
ce que tas donné banch est tt à fait juste
mais je pense qu'il y a plus simple : on pose Wn=an+bn implique W(n+1)=0.1*(an+bn) implique Wn suite géométrique de raison 0.1 et de premier terme Wo=ao+bo=2 (en posant ao=bo=1), alors Wn=2/10^n alors an+bn=2/10^n,
et comme par définition a(n+1)=0.7an+0.2bn et b(n+1)=0.3an+0.8bn, tu peux facilement exprimer a(n+1) en fct de an et idem pour bn avec b(n+1) ! j'te laisse continuer ... @ +

par **phoebe** » 29 Mai 2006, 18:57

Bonsoir,
Ce n'est pas la première que je te fais la remarque, évites de multiposter cela agace les personnes qui te répondent.
Lis un peu les règles du forum :hum:

par **BancH** » 29 Mai 2006, 20:27

Mais c'est louche que la concentration d'eau dans A ne cesse d'augmenter, et la concentration de jus dans B ne cesse de diminuer, j'aurais imaginé qu'au bout d'un certain nombre d'étapes, l'évolution de la concentration d'eau dans A et de concentration de jus dans B change de signe puisque les quantités prélevées ne sont pas égales.
C'est pour ça que je pensais m'être trompé.

par **Daragon geoffrey** » 29 Mai 2006, 20:38

slt les gars je sui vrément dsl mais g fait une erreur grossière, en effet W n est une suite constante et Wo=ao+bo=2 (en posant ao=bo=1), donc on a Wn=2, implique an+bn=2, la suite des calculs est encore plus simplifiée que qu'avant ! @ +

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