Problème de trigonomètrie

[justinedu35]

salut à tous j'ai un problème à réaliser un exo de math, j'espere que vous pourrez m'aider car je suis vraiment bloquée:Démontrer que pour tout nombre réel a: cos5 a=16cos5a-20cos3a+5cos a

alors j'ai déjà : cos 5a= cos(4a+a)
=cos 4a cos a -sin 4a sin a
=[2cos^2(2a)-1]cosa-2cos(2a)sin a sin a
=[2cos^2(2a)-1]cos(a)-4cos^2(a)sin a
déjà je ne sais pas si c'est bon, enfin je pense mais je suis bloquée pour la suite merci de m'aider et sinn jai un autre problème je dois prouver que
cos Pi /5 = (1+racine 5)/4
MErci pour tt
Justina

[dom85]

bonsoir,

ton enoncé est faux:
cos(5a)=16 (cos a)^5 -20 (cos a)^3 +5 cos a

tu ne risquais pas d'arriver à demontrer l'egalité

[oscar]

Bonjour
Cos ^5 a = 16 cos ^5 a - 2 cos ³ a + 5 cos a

Formules cos 2a =2 cos²a -1 et sin 2a = 2sin a cos a
Cos (a+b) = cos acos b - sina sin b

cos 4a = cos (4a + a) := cos 4a cos a - sin 4a sina
Développons le 1er terme

(2cos ²2a -1)cos x =
[2(2cos ²a-1)²-1]cos x=
[2(4cos ^4 x - 4cos ² x+ 1)-1]cos x=
(8 cos ^4 x -8 cos ² x +1)cos x=
8cos^5 x - 8 cos ³ x + cos x (1)

Développons le 2e terme

2 sin 2x cos 2x sin x=
2(2sin x cos x)(2cos²x -1) sinx=
4sin x cos x*(2cos²x-1) sinx=
4sin²xcos x(2cos²x -1)=
4(1-cos²x) cos x (2cos ²x -1)=
(4 - 4 cos ²x)(2cos ²x-1) cos x=
8cos ³x - 8 cos^5 x - 4 cos x + 4cos ³x=
-8cos^5 x + 12 cos³ x - 4 cos x=
=> +8cos^5 x -12 cos ³x + 4cos x(2)
Ajoutons (1) et (2)

=> 16 cos^5 x - 20 cos ³ x + 5cos x

A tantôt pour l' autre exo :ptdr: