démontrez que :
et j'en suis arrivé à :
et en fait c'est sinus au carré pi sur 9 à la fin , pour éviter que vous vous trompiez
z'auriez pas un tuyau à me passer SVP
?Problème de trigonométrie
6 messages
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problème de trigonométrie
par Fan-de-Perelman » 24 Jan 2011, 22:25
cela fait 1 h que j'essaye de résoudre ce problème :
démontrez que : sin(\frac{2\Pi}{9})sin (\frac{3\Pi}{9}) sin (\frac{4\Pi}{9}) = \frac{3}{16})
et j'en suis arrivé à :(\frac{3}{2} - sin^2 \frac{\Pi}{9}))
et en fait c'est sinus au carré pi sur 9 à la fin , pour éviter que vous vous trompiez
z'auriez pas un tuyau à me passer SVP ?
démontrez que :
et j'en suis arrivé à :
et en fait c'est sinus au carré pi sur 9 à la fin , pour éviter que vous vous trompiez
z'auriez pas un tuyau à me passer SVP
?par Arnaud-29-31 » 24 Jan 2011, 23:36
Salut,
La méthode bourrin marche bien, on exprime les sinus sous forme exponentielle.
Ceci revient à montrer que
 \times \left( e^{2i\frac{\Pi}{9}} - e^{-2i\frac{\Pi}{9}} \right) \times \left( e^{3i\frac{\Pi}{9}} - e^{-3i\frac{\Pi}{9}} \right) \times \left( e^{4i\frac{\Pi}{9}} - e^{-4i\frac{\Pi}{9}} \right) = 3)
Si tu développes, tu vois que plein de truc se simplifient et il te reste juste
.sin(\frac{2\Pi}{9}).sin(\frac{3\Pi}{9}).sin(\frac{4\Pi}{9}) = \frac{1}{16}.\left(2-2\underbrace{cos(\frac{6\Pi}{9})}_{=-\frac12}\right) = \frac{3}{16})
La méthode bourrin marche bien, on exprime les sinus sous forme exponentielle.
Ceci revient à montrer que
Si tu développes, tu vois que plein de truc se simplifient et il te reste juste
par Euler07 » 25 Jan 2011, 00:14
Fan-de-Perelman a écrit:j'avoue que je n'ai rien compris à ta méthode :s ...
Surtout si t'as encore vu les nombres complexes :doh:
par Fan-de-Perelman » 25 Jan 2011, 00:27
non je suis juste en 1 ère année ... je n'ai pas encore étudié les nombres complexes
par Arnaud-29-31 » 25 Jan 2011, 13:10
Bein dans ce cas, tu transformes ton produit en une somme de cos en utilisant les les deux propriétés suivantes : sin(b) = \frac12 \left( cos(a-b) - cos(a+b) \right))
et cos(b) = \frac12 \left( cos(a+b) + cos(a-b) \right))
.sin(\frac{2\Pi}{9}).sin(\frac{3\Pi}{9}).sin(\frac{4\Pi}{9}) = \frac14 \left( cos(\frac{\Pi}{9}) - cos(\frac{3\Pi}{9}) \right).\left(cos(\frac{\Pi}{9}) - cos(\frac{7\Pi}{9}) \right))
grâce à la propriété
On remarque que = - cos(\frac{2\Pi}{9}))
et on développe :
 + cos(\frac{\Pi}{9}).cos(\frac{2\Pi}{9}) - cos(\frac{3\Pi}{9}).cos(\frac{\Pi}{9}) - cos(\frac{3\Pi}{9}).cos(\frac{2\Pi}{9}) \right))
Je te laisse maintenant utiliser la propriété, après ça tu as des choses qui se simplifient et tu n'es plus qu'à une ligne du résultat.
On remarque que
Je te laisse maintenant utiliser la propriété
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