Problème de pourcentages

[Denys]

Bonjour,
Mon problème est le suivant : dans une entreprise, le nombre d'employés (N) a été multiplié par "a" et les salaires (S), tous identiques, par "b". La masse salariale a donc été multipliée par "ab". On demande quelle et la part en pourcentage de chacun des facteurs (effectif et salaire).

Je suis face à deux solutions, sans même savoir si l'une d'entre elles est la bonne

1) Pourcentage lié à l'augmentation des effectifs N(%) = a / (a + b)
Pourcentage lié à l'augmentation des salaires S(%) = b / (a + b)
La somme des 2 étant bien égale à 1 ou (100%)
Le problème (?) ici est que l'on sous-entend que le rapport des pourcentages est le même que celui des coefficients multiplicateurs. En effet : N/S = a/b

2) Si l'on réfléchit à l'augmentation de la masse salariale, on passe de NS à abNS. Cette augmentation est donc de NS(ab -1). Le coefficient d'augmentation de la masse salariale est donc de (ab-1). Il peut alors sembler logique de considérer que ce (ab-1) correspond aux 100% et de trouver des formules qui le prennent en compte au dénominateur.
En partant de l'idée que l'augmentation des effectifs est N(a-1) et donc que le coefficient est de (a-1) et que l'augmentation des salaires est N(b-1) .... et en bidouillant, j'ai trouvé celles-ci :
N(%) = 0,5(a-1)(b+1)/(ab-1) et S(%) = 0,5(b-1)(a+1)/(ab-1)
La somme des 2 étant bien égale à 1

Je suis donc assez perplexe...
Quelqu'un aurait-il une idée sur le sujet ?

[Ben314]

Salut,
Perso, je trouve que l'énoncé... ne veut rien dire...

Dans ta solution 1), je ne vois pas à quelle quantité concrète correspond le a+b par lequel tu divise.
Ça donne assez fortement l'impression que sa seule justification, c'est pour que la somme de tes deux trucs vallent 1 ce qui, à mon sens, ne vaut rien comme justification (on ne fait pas un calcul POUR trouver un certain résultat !!!)
Pour te donner un exemple concret, si le nombre d'employés est multiplié par 3 et les salaire par 2, que représente 5=3+2 ?
Moi, ça me donne l'impression qu'on est en train d'ajouter "3 tomates avec 2 kangourous"

Pour ton 2), pas mieux (même pire) si tu raisonne en terme de "coefficient d'augmentation", la première fois, ton coeff. est (a-1), la deuxième fois, c'est (b-1) et le coeff. total est (ab-1) qui n'est pas égal à (a-1)(b-1).
Et le "bidouillage" de la fin, j'ai l'impression que c'est comme dans le cas 1), tu rajoute des coeffs "qui vont bien" non pas du fait que ça a un sens concret, mais uniquement pour que la somme de tes deux trucs fasse effectivement 1).

Après, en réfléchissant beaucoup, je me dit que les seuls cas ou je comprend ce que signifie "...la part en pourcentage de chacun des facteurs", c'est dans les cas où on a des facteurs additifs.
Le premier facteur est une addition de A, le deuxième est aussi une addition de B (et on ajoute les deux fois la même chose : des bananes ou des carottes...) et la somme des facteurs, c'est simplement A+B qui correspond à la somme de deux trucs qui ont la même unité (banane ou carotte...)
Ensuite, les quotient A/(A+B) et B/(A+B) correspondent à des divisions de trucs qui ont la même unité donc donne un résultat sans aucune unité ce qui correspond bien à un pourcentage.
BILAN : A mon sens (donc tout à fait discutable...) il faudrait avoir des facteurs additifs alors que là, ils sont multiplicatifs, sauf que pour transformer des multiplications en additions, il suffit d'en prendre le log.
Donc je trouverais (éventuellement) un peu "sensé" (mais pas trop...) de dire que, la "part en pourcentage du facteur a", c'est ln(a)/ln(ab) et que celle du facteur b est ln(b)/ln(ab)

EDIT : En plus, avec ta méthode 1, si on a a=1 (donc pas d'augmentation du nombre d'employés) et b=1.1 (10% d'augmentation des salaires) ton a/(a+b)=48% et b/(a+b)=52% ne me semble pas très pertinents par rapport à ce que, intuitivement parlant, on aimerais trouver dans ce cas là.

EDIT 2 : Lorsque x est proche de 1 alors ln(x) est proche de x-1 donc, si a et b sont proches de 1, les deux pourcentages que je "préconise" (et encore...) sont respectivement proches de (a-1)/(ab-1) et de (b-1)/(ab-1) et vont donc être trés proche de ceux de ta méthode 2.

[Denys]

«Dans ta solution 1), je ne vois pas à quelle quantité concrète correspond le a+b par lequel tu divise»
Je mets le calcul : la somme des 2 pourcentages recherchés doit être égale à 1 (X+Y=1) et on choisit de dire que le rapport de ce deux pourcentages est égal à "a/b" (X/Y = a/b). La résolution du système donne alors X=a/(a+b) et Y=b/(a+b)
Mais j'avais précisé que ce (X/Y = a/b) était sujet à caution.

«Pour ton 2), pas mieux (même pire) si tu raisonne en terme de "coefficient d'augmentation", la première fois, ton coeff. est (a-1), la deuxième fois, c'est (b-1) et le coeff. total est (ab-1) qui n'est pas égal à (a-1)(b-1)»
Évidemment que ça n'est pas égal. Quand je parle de "bidouillage", c'est parce que j'ai tenté une formule faisant intervenir (ab-1) au dénominateur et (a-1) au numérateur pour le 1er % (ce qui comporte une certaine logique puisque ces 2 facteurs sont présents dans mon raisonnement) et (ab-1) au dénominateur et (b-1) au numérateur pour le 2ème % . Ensuite, pour arriver à une somme égale à 1, j'ai rajouté le reste...

« Perso, je trouve que l'énoncé... ne veut rien dire... »
Et pourtant tu proposes finalement une solution intéressante et qui consiste donc à transformer des facteurs multiplicatifs en facteurs additifs pour obtenir justement une addition de pourcentages.
« la "part en pourcentage du facteur "a", c'est ln(a)/ln(ab) et que celle du facteur b est ln(b)/ln(ab) »
J’avoue que cette solution est séduisante et si il n'y a pas d'autre proposition, je vais la retenir.

[Ben314]

J'ai effectivement proposé une solution, mais... j'ai mis des guillemets et des parenthèses partout pour bien signaler que je ne soutient pas super profondément... mon propre calcul...

Tout le reste de mon laïus, c'était pour dire que perso., je ne crois pas du tout aux différents truc qu'on "bidouille pour que la somme fasse un" : pour moi (j'insiste sur ce "pour moi"), pour qu'un calculs concernant des trucs concret soit "valide", il faut qu'il y ait du "sens" derrière les opération que l'on fait et qu'il n'y ait pas de raisonnement du style "je fait ça comme calculs parce que ça donne comme résultat ce que j'avais envie d'avoir" (comportement que l'on retrouve hélas très souvent dans différents domaines)

Pour finir, de toute façon, c'est toi qui cherche une formule, donc si toi, ça te semble cohérent, pourquoi pas...
Concernant les deux qui te sembles "plausible" : ta 2) et la mienne, pour des a et b proches de 1, ça donnera quasi la même chose donc regarde pour des a et b un peu plus grand quel résultat te semble le plus "proche de ton intuition"

[Denys]

Ce que je voulais dire par « tu proposes finalement une solution », c’est que tu ne contestes pas le fait qu’à partir d’un phénomène multiplicatif, on désire finalement donner un résultat sous forme de pourcentage… ce qui dans mon esprit aide à la compréhension du phénomène.

Comme tu l'as sans doute remarqué, tes "formules" sont issues du fait que l'on a choisi de dire que
X+Y=1 et surtout X/Y = lna/lnb
En effet la résolution du système donne
Y= X(lnb/lna) => X+X(lnb/lna) = 1 => Xlna +Xlnb = lna => X= lna/(lna+lnb) =>
X= lna/ln(ab) et donc Y= lnb/(lnab)

Dès lors, peut-on justifier dès le début ce choix ?

Maintenant, concernant l’intuition, j’ai l’impression que ça sert souvent en maths ou en sciences, ce qui n’empêche pas (souvent aussi) de se planter complètement…

[Ben314]

Justement, perso, je ne présenterais pas le calcul en disant à priori que, ce que "j'aimerais avoir", c'est X+Y=1 et X/Y=ln(a)/ln(b) mais plutôt sous la forme :
Pour que les deux multiplications faîtes deviennes des addition, on passe au log (c'est là que c'est trés discutable vu que je ne passe pas au log du fait que le log(Salaire) a un sens concret mais... pour que le calcul devienne additif...).
La multiplication de S par a fait augmenter ln(S) de A=ln(a) et la multiplication de S par b fait augmenter ln(S) de B=ln(b) soit une augmentation totale de A+B.
Les "pourcentages respectifs" de ces deux additions sont donc et

[Denys]

Cette dernière explication éclaire bien le choix des logarithmes.
Merci beaucoup pour ton aide