Problème pour un DM sur Euclide

[pucedu74]

Bonjour à tous,
Je suis en 1S et j'ai un dm à faire pour la rentrée. Je l'ai commencé mais je ne suis pas sur des résultats et je bloque sur certaines questions.
Pouvez-vous m'aider?


Euclide a posé et résolu le problème suivant: CAB est un triangle quelconque, M est un point de [BC] à partir duquel on construit le paralèllogramme MQAP.
Coment choisir M de sorte que l'aire de ce parallèlogramme soit maximale?

I) Conjecture informatique (géospace)Construire un triangle ABC quelconque; créer le point libre M sur [BC] puis construisez MQAP; déterminez son aire puis faites une conjecture

-->Ma conjecture est que l'aire est maximale quand M est au milieu de [BC].

II)Par l'analyse
Puisque l'aire S de MQAP est égale à APxQT, on pose AP=t et QT=x . Afin d'exprimer S en fonction d'une seule variable, on cherche une relation entre t et x.
1)En utilisant Thalès, démontrez que t/AB= CH-x/CH
Pour simplifier on pose AB=c et CH=h

-->Dans le triangle BCA, d'après le théorème de Thalès
CH/CB=AP/AB
CH-x/CH = t/AB

2)Déduisez en que S= c/h(hx-x²) , trouvez le maximum de S et concluez

-->CH-x/CH = t/AB
(CH-x)AB = (CH)t
AB/CH(CHx-x²)
c/h(hx-x²)

Je ne sais pas comment trouver le maximum...

III)Par la géométrie
Voici la solution proposée par Euclide. I étant le milieu de [BC], on construit les parallèlogrammes IKAJ, IJBH et les points N et O. I' et M' sont les projetés orthogonaux de I t M sur (AB)
1) Démontrez que BP/BJ = MM'/II' et prouvez que l'aire de MQAP est égale à l'aire du polygone JBHNMO (aire de OMPJ + aire de PBHN). Euclide appelle "gnomon" ce polygone.

2)Prouvez que l'aire du gnomon est inférieur à l'aire de AJIK. La figure est faite lorsque M est un point de [IB]. Euclide fait une démonstration analogue lorsque M est un point de [IC]. Concluez

Je n'arrive pas à résoudre le III...

Merci de votre aide