Probleme de maths polynome degré 2

[aanicet14]

Bonsoir, je bute sur une question qui m'est posée. La voici :
Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que, pour tout réel , P(x + 1) − P(x) = x. En déduire, pourtout entier
naturel n, une expression de la somme 1 + 2 + 3 + ⋯ + n.

Merci

[Ben314]

Salut,
A mon avis, on ne te demande pas franchement d'astuce mais simplement de partir d'un polynome quelconque P(X)=aX^2+bX+c et de regarder a quelle condition (sur a,b,c bien sur) ce polynome verifie P(X+1)-P(X)=X.

Indication : Il y a plusieurs solution mais on te demande juste d'en choisir une

[aanicet14]

Salut, je ne vois pas comment faire

[Ben314]

Si P(X)=aX^2+bX+c , ca vaut quoi P(X+1) (sous forme développée) ?

[aanicet14]

Ca donne aX**2+2aX+a+bX+b+c

[aanicet14]

J'ai trouvé mercii
C'est -1/2x**2 + 1/2x + c (quelconque) = 0

[aanicet14]

Mais il me reste la deuxieme partie

[catamat]

Bonjour

Ecrire : p(x+1)-p(x)=x pour x=1, puis x=2,... jusqu'à x=n

puis remplacer dans 1+2+...+n

[Black Jack]

J'ai trouvé mercii
C'est -1/2x**2 + 1/2x + c (quelconque) = 0

A ta place, je vérifierais mes calculs.

Il me semble que P(x) = (1/2)*x² - (1/2).x + c (quelconque)

Donc erreurs de signes ... et le = 0 n'a rien à faire là.

Et comme c est quelconque, par facilité, on peut prendre c = 0 et donc P(x) = (1/2)*x² - (1/2).x
*****
Ensuite :

On applique P(X+1) - P(x) = 1 et on fait la somme depuis X = 1 jusque X = n :

(P(1+1) - P(1)) + (P(2+1) - P(2)) + (P(3+1) - P(3)) + ... + P(n+1) - P(n)) = 1 + 2 + 3 + ... + n
(P(2) - P(1)) + (P(3) - P(2)) + (P(4) - P(3)) + ... + P(n+1) - P(n)) = 1 + 2 + 3 + ... + n

et en simplifiant :

- P(1) + P(n+1)= 1 + 2 + 3 + ... + n
Or P(1) = 0 --> 1 + 2 + 3 + ... + n = P(n+1)

et donc ...

[aanicet14]

Oh oui effectivement je suis allé un peu trop vite
Donc pour l'expression de la somme c'est P(n+1) ?
Merci pour tout en tout cas