Problème fonction dérivée et sinus.

par **quentinsz** » 09 Oct 2007, 17:57

bonjour a tous.
Je suis Quentin, élève de terminale S et j'ai actuellement un exercice assez difficile mélangeant une fonction exp et sinus dont voici la consigne ( pour ceux ayant le livre 65 p 114 ) :

Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = exp ( -x ) * sin ( x )

On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal ( O ; i ; j ) ou l'unité graphique est de 2 cm sur ( Ox ) et de 10 sur ( Oy ).

1/a/ Justifier la dérivabilité de f sur R
On sait que :
sinx est dérivable sur R car sa dérivée est cosinus.
une exponentielle a comme caractéristique que sa dérivée est égal à elle même donc c'est dérivable sur R.
Le produit des deux est donc dérivable sur R.

b/ Montrer, que pout tou x de R :
f' ( x ) = racine de 2 * exp ( -x) * cos(x+pi/4)

La je commence déja a bloquer. J'ai essaye de calculer la dérivée de f'(x), je trouve : f'(x) = -exp ( -x) * sinx + cos x * exp ( -x )
Puis, j'ai essaye de développer un peu f'(x) mais je trouve :
f'(x) = racine de 2 * exp (-x) * (cos x sin x + cos pi/4sin pi/4 ).
Et la j'arrive pas à trouver une solution pour essayer de rapprocher les deux.

c/ Résoudre sur [0;2pi] l'inéquation cos ( x + pi/4) plus grand que 0.

La on étudie les valeurs de x + pi/4 dans l'intervalle 0 ; 2 pi, on trouve que ca varie entre [ pi/4 , 9pi/4 ].
Or on connait le tableau de signe de cos x ( enfin je suppose^^ ).
Je trouve donc que c'est toujours positif.
J'en déduit donc que f'(x) est toujours positif dans l'intervalle [ ; pi/2]
car la fonction exponentielle est toujours positive.

d/ Donner le tableau de variation de f sur l'intervalle [ 0 ; pi/2 ] : ca si j'ai bon avant je sais le faire.

Après il y a un 2/ mais j'aimerai d'abord etre sur de maitriser le 1/.

Merci de m'aider.

par **guadalix** » 09 Oct 2007, 17:58

quentinsz a écrit:bonjour a tous.
Je suis Quentin, élève de terminale S et j'ai actuellement un exercice assez difficile mélangeant une fonction exp et sinus dont voici la consigne ( pour ceux ayant le livre 65 p 114 ) :

Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = exp ( -x ) * sin ( x )

On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal ( O ; i ; j ) ou l'unité graphique est de 2 cm sur ( Ox ) et de 10 sur ( Oy ).

1/a/ Justifier la dérivabilité de f sur R
On sait que :
sinx est dérivable sur R car sa dérivée est cosinus.
une exponentielle a comme caractéristique que sa dérivée est égal à elle même donc c'est dérivable sur R.
Le produit des deux est donc dérivable sur R.

b/ Montrer, que pout tou x de R :
f' ( x ) = racine de 2 * exp ( -x) * cos(x+pi/4)

La je commence déja a bloquer. J'ai essaye de calculer la dérivée de f'(x), je trouve : f'(x) = -exp ( -x) * sinx + cos x * exp ( -x )
Puis, j'ai essaye de développer un peu f'(x) mais je trouve :
f'(x) = racine de 2 * exp (-x) * (cos x sin x + cos pi/4sin pi/4 ).
Et la j'arrive pas à trouver une solution pour essayer de rapprocher les deux.

c/ Résoudre sur [0;2pi] l'inéquation cos ( x + pi/4) plus grand que 0.

La on étudie les valeurs de x + pi/4 dans l'intervalle 0 ; 2 pi, on trouve que ca varie entre [ pi/4 , 9pi/4 ].
Or on connait le tableau de signe de cos x ( enfin je suppose^^ ).
Je trouve donc que c'est toujours positif.
J'en déduit donc que f'(x) est toujours positif dans l'intervalle [ ; pi/2]
car la fonction exponentielle est toujours positive.

d/ Donner le tableau de variation de f sur l'intervalle [ 0 ; pi/2 ] : ca si j'ai bon avant je sais le faire.

Après il y a un 2/ mais j'aimerai d'abord etre sur de maitriser le 1/.

Merci de m'aider.

waw ya du boulot

par **quentinsz** » 09 Oct 2007, 18:53

lol oui.
Enfin, j'espere qu'il y a quelques unes de mes réponses qui sont bonnes :/.

par **guadalix** » 09 Oct 2007, 18:58

quentinsz a écrit:lol oui.
Enfin, j'espere qu'il y a quelques unes de mes réponses qui sont bonnes :/.

Une petite erreur mon ami sur la trigo...

cos(a+b)=cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) voila... donc refait le calcul pour cos(x+Pi/4) et tu devrai trouver ce que tu cherche...

et un autre indice cos²+sin²=1 voila...

par **quentinsz** » 09 Oct 2007, 19:23

Ah oui c'est vrai quel erreur :/.
Après ca va tout seul, en gros :
f'(x) = racine de 2 * exp ( - x ) * ( racine de deux cos x / 2 - racine de deux sin x / 2 )

On développe et on trouve le même.
Merci !
Il n'y a pas d'autres fautes de raisonnement ?

par **guadalix** » 09 Oct 2007, 19:26

quentinsz a écrit:Ah oui c'est vrai quel erreur :/.
Après ca va tout seul, en gros :
f'(x) = racine de 2 * exp ( - x ) * ( racine de deux cos x / 2 - racine de deux sin x / 2 )

On développe et on trouve le même.
Merci !
Il n'y a pas d'autres fautes de raisonnement ?

Euh....non, si t'as réussi à trouver le meme f' donc ça doit etre bon..

Problème fonction dérivée et sinus.

Problème fonction dérivée et sinus.

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