Problème d'équations

[Sawamura07]

Bonsoir à tous
J'ai récemment participé à un petit concours de mathématiques (au lycée) qui s'était pas mal passé ou on m'a demandé de montrer ce qui suit ,:
Si x+3/y=y+3/z=z+3/x=P Alors alors xyz+3P=0
J'ai fait la sommes puis j'ai réduit au même dénominateur afin de trouver une simplifications mais j'arrive pas
J’espère que vous pourrez m'aider
Merci d'avance

[Sa Majesté]

Salut
Si je prends x=y=z=1, j'ai x+3/y=y+3/z=z+3/x=4=P mais xyz+3P=13

[Sawamura07]

Bonsoir , merci pour votre réponse
j'ai oublié de préciser que x , y et z sont trois réels non nuls et différents deux à deux

[Sa Majesté]

Dans x+3/y=P, tu remplaces y par son expression en fonction de z et P, puis tu remplaces z en fonction de x et P.
Tu tombes sur une équation du 2nd degré en x, qui peut se factoriser par (P²-3).
Si tu fais pareil pour y et pour z, tu tombes sur la même équation du 2nd degré.
Comme cette équation n'admet que 2 solutions au max, et que x, y et z sont 2 à 2 distincts alors c'est que P²-3=0 donc P=+/- racine(3).

Par ex pour P=racine(3).
et

Alors xyz+3P=0.

[Sawamura07]

Merci beaucoup pour votre réponse :)
Oui en effet , j'ai suivi vos conseils et je suis arrivé au même résultat
mais j'ai juste une question , pour répondre justement à ce qu'on a demandé , il suffit de remplacer y et z en fonction de x et arriver au résultat précédent , ou il faut aussi refaire la même démarche pour y et z ?
JE pense que faire cela avec x suffit non ?
Bonne soirée :we:

[Sa Majesté]

Oui bien sûr il suffit de remplacer x par y puis z. Pas besoin de refaire tout le travail.