Problème d'encadrement

[MC91]

Bonjour,

Dans un exercice je dois démontrer que c²+( x²y²/c² ) -x²-y² ›0
Sachant que c ›0
et x et y appartiennent à l'intervalle ouvert allant de -c à c.

Pour ma part, je trouve le résultat compris entre -c² et 2c²....

Merci d'avance pour vos réponses,
Bonne journée à vous.

[Luc]

Bonjour MC91,

Il s'agit d'étudier le signe de f(x,y)=c²+( x²y²/c² ) -x²-y².
Remarque d'abord que comme l'expression est paire en x et y, on peut se limiter aux valeurs positives de x et y.
Problème : c'est une fonction de deux variables! (a priori, hors programme au lycée)

Solution :
Méthode 1 tu fixes y (par exemple).
Reste à étudier la fonction . Remarque : attention, la fonction dépend de y.
Tu calcules la dérivée de et tu dresses le tableau de variation, pour obtenir une inégalité de type où est un nombre qui ne dépend que de y. Il ne reste plus alors qu'à étudier la fonction qui à y associe , et à la minorer. Cette méthode n'obtient malheureusement que l'inégalité au sens large

Méthode 2
Tu considères directement l'expression et tu essaie de la minorer sans passer par le calcul de dérivées. Ici, une factorisation de l'expression par c²-y², fonctionne (je te laisse faire le calcul)

Bon courage,
Luc

[MC91]

Bonjour MC91,

Il s'agit d'étudier le signe de f(x,y)=c²+( x²y²/c² ) -x²-y².
Remarque d'abord que comme l'expression est paire en x et y, on peut se limiter aux valeurs positives de x et y.
Problème : c'est une fonction de deux variables! (a priori, hors programme au lycée)

Solution : tu fixes y (par exemple).
Reste à étudier la fonction g(x)=c²+( x²y²/c² ) -x²-y².

Soit tu calcules sa dérivée et tu dresses le tableau de variation (méthode standard).
Soit tu trouves une factorisation astucieuse de g(x) par c²-y², qui a le bon goût d'être un nombre positif (je te laisse faire le calcul)

Bon courage,
Luc

D'accord, merci de ta réponse !
Je vais retenter mon calcul en suivant tes conseils.
A bientôt !

[MC91]

Juste une autre question...

Si je fixe y au départ, je devrais ensuite faire un autre cas où je fixe x et y varie?

[Luc]

L'idée est la suivante :
tu fixes y
tu minores g(x) avec une inégalité de type
où h ne dépend que de y et plus de x.
Ensuite, tu minores h(y) en faisant varier y.

Mais dans cet exercice, cette méthode n'est pas adaptée. On obtient seulement la positivité au sens large (on ne peut pas faire mieux que , car on peut prendre x "aussi proche que l'on veut" de c). Il vaut donc mieux utiliser la méthode de la factorisation.

Luc

[hammana]

L'idée est la suivante :
tu fixes y
tu minores g(x) avec une inégalité de type
où h ne dépend que de y et plus de x.
Ensuite, tu minores h(y) en faisant varier y.

Mais dans cet exercice, cette méthode n'est pas adaptée. On obtient seulement la positivité au sens large (on ne peut pas faire mieux que , car on peut prendre x "aussi proche que l'on veut" de c). Il vaut donc mieux utiliser la méthode de la factorisation.

Luc

ecrivons l'inéquation

[hammana]

L'idée est la suivante :
tu fixes y
tu minores g(x) avec une inégalité de type
où h ne dépend que de y et plus de x.
Ensuite, tu minores h(y) en faisant varier y.

Mais dans cet exercice, cette méthode n'est pas adaptée. On obtient seulement la positivité au sens large (on ne peut pas faire mieux que , car on peut prendre x "aussi proche que l'on veut" de c). Il vaut donc mieux utiliser la méthode de la factorisation.

Luc

Ecrivons l'équation sous forme

l'expression de gauche représente un carré de côté plus un rectangle de côtés (en rouge)
l'expression de droite représsente deux rectangles de côtés
(en vert)
En superposant convenablement les représentations graphiques on obtient la différence entre les deux surfaces.

Algébriquement:
qui est positif

[MC91]

Super, merci beaucoup pour toutes ces explications, j'ai compris !

Bonne soirée.