Probléme avec un exercice de géométrie

[rima78]

j'ai un problème avec certaines questions d'un exercice de mon dm

soit abc un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A.
Soit L le projeté orthogonal de H sur (AC) et K le projeté orthogonal de H sur (AB)
on note I le milieu de [BC]

1) a) les droites (LK) et (AH) se coupent en J
la droie paralléle à (AB) passant par J cooupe (BC) en M
démontrer que M est le milieu de [BH]

b) démontrer que (LK) est prependiculaire à (MK)
c) démontrer que BH/BC=BK/BA puis que (MK) est paralléle à (AI)
d) en déduire que les droites (LK) et (AI) sont perpendiculaires

2) donner une solution en n'utilisant que les égalités d'angles

[Zebulon]

Bonjour,
en quelle classe êtes-vous?

[yvelines78]

bonjour,

1)
a-dans le triangle AHB
(JM)//(AB)

(LH) perpen (AC) et (AB) perpen (AC) donc (LH)//(AB)
(HK) perpen (AB) et (AC) perpen (AB) donc (HK)//(LA)
le quadrilatèreAKHL est un parallèlogramme, qui a un angle droit et donc un rectangle
J le point de concours de ses diagonales est le milieu de [AH]

or, dans un triangle la droite qui passe par le milieu d'1 côté parallèlement au 3ème côté passe par le milieu du 2ème côté

donc M est le milieu de [HB]


b-AKHL rectangle , JK=JH, les angles JHK=JKH
le triagle KBH est rec en K, (KM) est la médiane issue de l'angle droit et KM=MH, les angles KHM=HKM

JHK+KHM=90°, donc JKH+HKM=90° et (LK) perpen (KM)

c- application Thalès dans ABC, (AC)//(KH)
donc BH/BC=BK/BA=BH/2BI

BH=2*BMBH/2=BM
BH/2BI=BM/BI
donc BM/BI=BK/BA et (KM)//(AI) par la réciproque de Thalès

d-(KM)//(AI)
(LK) perpen (KM)
or lorsque 2 droites //s , toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre
donc (LK) perpen (AI)

[Zebulon]

a-dans le triangle AHB
(JM)//(AB)

(LH) perpen (AC) et (AB) perpen (AC) donc (LH)//(AB)
(HK) perpen (AB) et (AC) perpen (AB) donc (HK)//(LA)
le quadrilatèreAKHL est un parallèlogramme, qui a un angle droit et donc un rectangle
J le point de concours de ses diagonales est le milieu de [AH]

or, dans un triangle la droite qui passe par le milieu d'1 côté parallèlement au 3ème côté passe par le milieu du 2ème côté

donc M est le milieu de [HB]

C'est plus simple que ma méthode qui consistait à introduire le repère et chercher les coordonnées de chaque point. C'est faisable en Terminale.