Problème d'aire de demis cercle

[chabichoun]

Voici mon problème (ça fait plus de 3 jours que je bloque à cette question...):
"on considère le domaine délimité par les trois demi-cercles de diamètres respectif [AB], [AM] et [MB], comme sur la figure ci-contre.

http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9716083237/

On désigne A(x) son aire. Dans toute la suite, x est un nombre compirs entre 0 et 6 inclus.

Dans mon énoncé, il me demande de montrer que l'air de cette figure est de :

/4 (6x-x²)

mon calcul de base pour calculer l'aire était de cette figure était (;)*3²)/2 - [(;)(x/2)²)/2 + (;)((6-x)/2)²/2]

http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9719435478/

le prof ne veut pas m'aider. il me dit juste que c'est la bonne démarche, mais il ne me dis pas comment passer de (;)*3²)/2 - [(;)(x/2)²)/2 + (;)((6-x)/2)²/2] à /4 (6x-x²)

---------

Ensuite, il me demande de montrer que 6x - x² = -(x - 3)² + 9.
Puis il me demande de déduire la forme canonique de A(x)

et viens la question que je n'arrive jamais : "expliquer alors pourquoi l'aire admet un maximum, et trouver l'aire maximale du domaine et pour quelle valeur elle est atteinte."

Merci d'avance, je vous demanderez de m'expliquer "pourquoi" plutôt que de me donner directement la réponse, merci.

[Monsieur23]

Aloha,

Pour ta première question d'abord, qu'est ce que ça donne si tu développes tout, et que tu mets tout sous le même dénominateur?

Pour ta deuxième question, part de l'expression de droite, développe et vérifie que c'est bien la même chose que la partie de gauche.

[chabichoun]

Aloha,

Pour ta première question d'abord, qu'est ce que ça donne si tu développes tout, et que tu mets tout sous le même dénominateur?

Pour ta deuxième question, part de l'expression de droite, développe et vérifie que c'est bien la même chose que la partie de gauche.

Pour la première question, quand je développe, ça donne tout, sauf ce que le prof demande : je ne comprend pas comment ça se fait que lui, c'est un résultat basé sur une multiplication qu'il obtient alors que mon calcul est basé sur une soustraction.

pour la deuxième question, j'ai recopier la même chose que sur l'énoncé, et je sais que cette équation n'est pas logique : elle ne marche que pour x = 6

mais ce n'est pas moi qui a écris l'énoncé, j'y peux rien. tout les élève de ma classe ont dit qu'ils ont trouvé eux.

[Monsieur23]

Pour la première question, quand je développe, ça donne tout, sauf ce que le prof demande : je ne comprend pas comment ça se fait que lui, c'est un résultat basé sur une multiplication qu'il obtient alors que mon calcul est basé sur une soustraction.

Est-ce que tu peux détailler un peu ton calcul ? Tu mets tout au même dénominateur justement pour pouvoir calculer tes soustractions.

pour la deuxième question, j'ai recopier la même chose que sur l'énoncé, et je sais que cette équation n'est pas logique : elle ne marche que pour x = 6

mais ce n'est pas moi qui a écris l'énoncé, j'y peux rien. tout les élève de ma classe ont dit qu'ils ont trouvé eux.

Non, cette équation marche bien pour tout x. Qu'est ce que ça donne quand tu développes (x-3)² ? Donc -(x-3)² ? Et donc -(x-3)²+9 ?

[chabichoun]

Est-ce que tu peux détailler un peu ton calcul ? Tu mets tout au même dénominateur justement pour pouvoir calculer tes soustractions.

dis moi si j'ai fais une erreur, mais je pense que ça donne ça :
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9719630452/in/photostream/

Non, cette équation marche bien pour tout x. Qu'est ce que ça donne quand tu développes (x-3)² ? Donc -(x-3)² ? Et donc -(x-3)²+9 ?

et pour celui ci, je pense que ça donne ça
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9719631176/

[Monsieur23]

Attention! Il n'est pas vrai que (a+b)² = a²+b² ! Tu dois avoir dans ton cours une partie où tu trouveras les identités remarquables : (a+b)², (a-b)², (a+b)(a-b).

[chabichoun]

Attention! Il n'est pas vrai que (a+b)² = a²+b² ! Tu dois avoir dans ton cours une partie où tu trouveras les identités remarquables : (a+b)², (a-b)², (a+b)(a-b).

Merci ! ça donne ça :
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9716524201/

Et pour le reste des questions ? parce que là, pour le reste, j'y arrive vraiment pas : /

[Monsieur23]

Merci ! ça donne ça :
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9716524201/

Et pour le reste des questions ? parce que là, pour le reste, j'y arrive vraiment pas : /

Ok. Pour la première question, c'est pareil, utilise l'identité remarquable pour développer (6-x)².

Qu'est ce que tu appelles 'forme canonique' ?

Pour la dernière question, tu sais que (x-3)² est toujours positif, et donc -(x-3)² toujours négatif.
Tu as donc toujours 9 - (x-3)² toujours plus petit que 9.
Comment peux-tu conclure?

[chabichoun]

Ok. Pour la première question, c'est pareil, utilise l'identité remarquable pour développer (6-x)².

je ne peux pas car le première question n'est pas (6-x)², mais
/4 (6x-x²)

Qu'est ce que tu appelles 'forme canonique' ?

Dis moi si je me trompe, mais il me semble que c'est ça a(x-;))² +

Pour la dernière question, tu sais que (x-3)² est toujours positif, et donc -(x-3)² toujours négatif.
Tu as donc toujours 9 - (x-3)² toujours plus petit que 9.
Comment peux-tu conclure?

Faut dire que là, j'ai pas trop saisi : je ne cherche pas le plus petit, mais le plus grand. excuse moi, mais je ne comprend pas ta démarche : /

[Monsieur23]

je ne peux pas car le première question n'est pas (6-x)², mais
/4 (6x-x²)

Ça c'est ce à quoi tu veux arriver. Mais une de tes fractions fait intervenir (6-x)², que tu dois développer.

Dis moi si je me trompe, mais il me semble que c'est ça a(x-;))² +

Très bien, si c'est ce que tu as dans ton cours, ça doit être ça. Du coup, ici, c'est déjà sous forme canonique : que valent a, et dans ce cas ?

Faut dire que là, j'ai pas trop saisi : je ne cherche pas le plus petit, mais le plus grand. excuse moi, mais je ne comprend pas ta démarche : /

Pour avoir un maximum M, il y a deux choses :
- tu montres que pour tout x, ton expression est plus petite que M ;
- tu montres que tu peux trouver un x pour laquelle ton expression vaut exactement x.

Ici, tu vas prendre M=9.
- Comment montrer que pour tout x, -(x-3)²+9 est plus petit que 9 ?
- Pour quel x a-t-on -(x-3)² + 9 = 9 ?

[chabichoun]

Ça c'est ce à quoi tu veux arriver. Mais une de tes fractions fait intervenir (6-x)², que tu dois développer.

à part x(6-x), j'vois pas ce que je peux obtenir d'autre

Très bien, si c'est ce que tu as dans ton cours, ça doit être ça. Du coup, ici, c'est déjà sous forme canonique : que valent a, et dans ce cas ?

je suppose que ça donne ceci : -1 (x-3)² + 9

Pour avoir un maximum M, il y a deux choses :
- tu montres que pour tout x, ton expression est plus petite que M ;
- tu montres que tu peux trouver un x pour laquelle ton expression vaut exactement x.

Ici, tu vas prendre M=9.
- Comment montrer que pour tout x, -(x-3)²+9 est plus petit que 9 ?
- Pour quel x a-t-on -(x-3)² + 9 = 9 ?

je suis désolé, j'essaye depuis tout à l'heure, mais je ne trouve pas à part recommencer le calcul avec tout les nombres/chiffres possible, je ne vois pas comment on peut montrer qu'ils sont tous plus petit à part un en particulier

[Monsieur23]

Dans ton lien http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9719630452/in/photostream/ , tu as fais "(6-x)² = 36 - x²", c'est ici que c'est mal. Tu dois corriger en utilisant l'identité remarquable, et ensuite, toutes tes fractions sont sur 4, et donc tu peux ajouter ou soustraire les numérateurs pour trouver le résultat.

je suppose que ça donne ceci : -1 (x-3)² + 9

Oui c'est ça :lol3:

je suis désolé, j'essaye depuis tout à l'heure, mais je ne trouve pas : /

Déjà, est-ce que tu vois que pour x=3, ton aire est bien égale à 9 ?

Ensuite, pour montrer que c'est toujours inférieur ou égal à 9, tu dois montrer
-(x-3)² + 9 9, ce que tu peux transformer en -(x-3)² + 9 - 9 9 - 9.
Vois-tu comment terminer ?

[chabichoun]

Dans ton lien http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9719630452/in/photostream/ , tu as fais "(6-x)² = 36 - x²", c'est ici que c'est mal. Tu dois corriger en utilisant l'identité remarquable, et ensuite, toutes tes fractions sont sur 4, et donc tu peux ajouter ou soustraire les numérateurs pour trouver le résultat.

je n'sais pas quelle coui*** j'ai encore fais, mais je suis sur que ma démarche est fausse

http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720381554/

Oui c'est ça :lol3:

Déjà, est-ce que tu vois que pour x=3, ton aire est bien égale à 9 ?

Ensuite, pour montrer que c'est toujours inférieur ou égal à 9, tu dois montrer
-(x-3)² + 9 9, ce que tu peux transformer en -(x-3)² + 9 - 9 9 - 9.
Vois-tu comment terminer ?

euh, ensuite, une fois à ce stade ?
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720405916/

[Monsieur23]

je n'sais pas quelle coui*** j'ai encore fais, mais je suis sur que ma démarche est fausse

http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720381554/

Tu t'es trompé à la deuxième ligne dans l'identité remarquable, c'est +x² et non -x².

euh, ensuite, une fois à ce stade ?
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720405916/

Il ne faut surtout pas développer l'expression, tu viens de t'embêter à la factoriser.
Tu arrives donc à -(x-3)² 0, donc en multipliant par -1 de chaque côté, ça donne quoi ?
Ensuite, quel est le signe d'un carré ?

[chabichoun]

Tu t'es trompé à la deuxième ligne dans l'identité remarquable, c'est +x² et non -x².

J'l'ai corrigé, mais là par contre, je sèche : /

http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720593558/

Il ne faut surtout pas développer l'expression, tu viens de t'embêter à la factoriser.
Tu arrives donc à -(x-3)² 0, donc en multipliant par -1 de chaque côté, ça donne quoi ?
Ensuite, quel est le signe d'un carré ?

Ca donne ça :we:
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720593652/

[Monsieur23]

J'l'ai corrigé, mais là par contre, je sèche : /

http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720593558/

Dans le troisième terme de la somme, tu as bien corrigé, mais ensuite le pi se développe sur toute la parenthèse, pas seulement le premier terme : tu as donc, dans la parenthèse, ligne 3 : 2pi x² + 36pi - 12 pi x.

Ensuite 2×pi×4×x²/8, ça fait pi×x² (le 2×4 et le 8 se simplifient).
En corrigeant ça, tu dois finir par arriver au résultat.

Ca donne ça :we:
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720593652/

Fais attention, ton carré est miraculeusement rentré dans la parenthèse! :lol3:
Tu arrives donc à -(x-3)² 0.
Quand on multiplie par -1, on change le sens de l'inégalité (car -1 est négatif), on obtient donc
(x-3)² 0
Est-ce que c'est toujours vrai, quelque soit x?

[chabichoun]

Dans le troisième terme de la somme, tu as bien corrigé, mais ensuite le pi se développe sur toute la parenthèse, pas seulement le premier terme : tu as donc, dans la parenthèse, ligne 3 : 2pi x² + 36pi - 12 pi x.

Ensuite 2×pi×4×x²/8, ça fait pi×x² (le 2×4 et le 8 se simplifient).
En corrigeant ça, tu dois finir par arriver au résultat.

jusque là "2×pi×4×x²/8" ça va, mais comment t'obtiens "pi×x²" ?
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720897624/

Fais attention, ton carré est miraculeusement rentré dans la parenthèse! :lol3:
Tu arrives donc à -(x-3)² 0.
Quand on multiplie par -1, on change le sens de l'inégalité (car -1 est négatif), on obtient donc
(x-3)² 0
Est-ce que c'est toujours vrai, quelque soit x?

ça donne ça cette fois ci. c'est bon ?
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9717667775/

[Monsieur23]

jusque là "2×pi×4×x²/8" ça va, mais comment t'obtiens "pi×x²" ?
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9720897624/

Tu peux calculer : 2×pi×4×x² = 2×4×pi×x² = 8×pi×x². Quand tu divises par 8, il te reste donc pi×x².

ça donne ça cette fois ci. c'est bon ?
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9717667775/

Non, il ne faut pas développer!
Quand tu es à -(x-3)² 0, tu passes à (x-3)² 0 (on change le sens car -1 est négatif), qui est toujours vrai car un carré est toujours positif.
On revient donc à notre expression de départ, et on trouve donc que l'aire est toujours 9.

[chabichoun]

Tu peux calculer : 2×pi×4×x² = 2×4×pi×x² = 8×pi×x². Quand tu divises par 8, il te reste donc pi×x².

Bon, ça me donne ça :
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9717875795/

qu'est ce que je fais du "9pi - 3x" ?
il y a quelque chose que je ne comprend pas: normalement, la fraction ne concernait que 4x²/8
pourquoi avoir intégré "pi" dedans alors que depuis le début, il n'y était pas ?

Non, il ne faut pas développer!
Quand tu es à -(x-3)² 0, tu passes à (x-3)² 0 (on change le sens car -1 est négatif), qui est toujours vrai car un carré est toujours positif.
On revient donc à notre expression de départ, et on trouve donc que l'aire est toujours 9.

ça veut dire que le calcul s'arrête seulement à "(x-3)² 0" sans développer et que cela suffit à prouver que l'aire est toujours inférieure à 9 ?

j'ai une autre petite question : le prof demande la nature de cette fonction :
http://www.flickr.com/photos/99848419@N07/9717875243/in/photostream/

c'est une fonction factorisée ?