Probabilités de distribution au tarot

[flush1994]

Bonjour!

Etant passionné de tarot (pas divinatoire bien sûr), j'ai régulièrement besoin de connaitre les probabilités de distribution de certaines couleurs, afin d'améliorer mes stratégies de jeu.

En voici un exemple:

avec 54 cartes dont le Roi de trèfle, 9 autres trèfles et 44 cartes d'autres couleurs, je distribue 3 jeux de 18 cartes chacun.

Quelle est la probabilité d'avoir alors le roi de Trèfle quatrième et seulement 4e (donc accompagné de 3 et seulement 3 trèfles) dans un jeu?
Même question pour le roi de Trèfle cinquième OU PLUS dans un seul et même jeu?

pour le roi 4eme, j'ai fait le calcul suivant:

nombre de mains favorables (avec le Roi 4eme)/nombre de mains possibles (avec le roi de trèfle et 17 autres cartes) ç-à-d.:

1*9*8*7*44*43*....*32*31 (18 termes à mon produit, pour 18 cartes) divisé par 53*52*51*...*38*37, ce qui donne un peu plus de 4 cas sur 10000!! Intuitivement, et la réalité du jeu vient le conforter, ce n'est pas du tout ce à quoi je m'attendais. Quelle est mon erreur de raisonnement/calcul???

[Skullkid]

Bonjour, ta principale erreur est de confondre arrangements et combinaisons : ton 1*9*8*7*44*43*....*32*31 c'est le nombre de mains de 18 cartes telles que la première carte distribuée est le roi de trèfle, les trois cartes suivantes sont des trèfles, et les cartes restantes sont autres. Mais pour ton problème, l'ordre dans lequel les trèfles sont distribués t'est égal, tant que le main finale contient exactement 4 trèfles dont le roi.

Puisque parmi les trois mains distribuées il y en a toujours une et une seule qui contient le roi de trèfle, en fait ton problème revient à considérer un seul joueur qui a déjà le roi de trèfle dans la main et qui pioche au hasard 17 cartes dans un paquet de 53 (avec 9 trèfles dans le paquet). Le nombre de mains favorables est alors et le nombre de mains possibles est , ce qui donne une probabilité d'un peu moins de 30% (cf Wikipedia si tu n'es pas familier avec cette notation).

À noter qu'ici j'ai supposé que tu t'intéressais à la probabilité que l'un des trois jeux distribués contienne le roi de trèfle et exactement trois autres trèfles ; si tu cherchais la probabilité qu'un joueur fixé à l'avance obtienne une telle main, le principe est globalement le même, mais on tombe sans grande surprise sur une probabilité 3 fois plus faible.

[flush1994]

Merci de cette réponse rapide; en effet l'ordre de tirage des cartes m'est indifférent.

Pour ce qui est du Roi 5eme OU PLUS, je peux m'en sortir en additionnant les cas "5e exactement" + "6e exactement" + etc... Existe-t-il une formule donnant directement l'ensemble de ces 6 cas (de 5eme à 10eme)?

[Sylviel]

Non il n'y a pas de formule donnant l'ensemble des 6 cas. Une astuce classique consiste à dire que c'est 1-proba(évènement contraire).

Pour faire ce genre de calcul il peut être bon d'appendre à faire un petit script (dans n'importe quel langage) qui te fera la somme très facilement.

[flush1994]

Merci!